Encontre o escoamento de um campo de velocidade dado por \vec{F}=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j}+y^{2} \vec{k} ao longo da curva \vec{r}(t)=3 t \vec{j}+4 t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o escoamento (fluxo ao longo) de um campo de velocidade \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+x\,y\,\vec{j}+y^{2}\,\vec{k} sobre a curva parametrizada por
\vec{r}(t)=3t\,\vec{j}+4t\,\vec{k},\quad 0\le t\le1.
Para calcular esse escoamento usamos a integral de linha no sentido do vetor tangente, ou seja
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}
onde \mathrm{d}\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Primeiro escrevemos a parametrização em coordenadas e calculamos \vec{r}\,'(t). Como \vec{r}(t)=(0,\,3t,\,4t), temos
\vec{r}\,'(t)=(0,\,3,\,4).
Em seguida, avaliamos \vec{F} sobre a curva: em \vec{r}(t) vale x=0 e y=3t, logo
\vec{F}(\vec{r}(t)) =(0^{2},\,0\cdot(3t),\,(3t)^{2}) =(0,\,0,\,9t^{2}).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) e integramos de 0 a 1:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = (0,0,9t^{2})\cdot(0,3,4) =9t^{2}\times4 =36t^{2}.
Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\int_{0}^{1}36t^{2}\,\mathrm{d}t =36\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =36\cdot\frac{1}{3} =12.

Resposta

O escoamento do campo \vec{F} ao longo de C é 12.

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