\int_{c}(x+y-z) d x ao longo da curva \vec{r}=t \vec{i}-\vec{j}+t^{2} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}(x+y-z)\,dx
ao longo da curva parametrizada por
\vec r(t)=t\,\vec i - \vec j + t^{2}\,\vec k, \quad 0\le t\le1.
Vamos usar essa parametrização para expressar x, y, z e dx em função de t.

Passo 2

Da parametrização extraímos
x(t)=t,\quad y(t)=-1,\quad z(t)=t^{2},
e
dx = x'(t)\,dt = 1\,dt.
Assim, o integrando (x+y-z)\,dx torna-se
(t - 1 - t^{2})\,dt.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{C}(x+y-z)\,dx = \int_{0}^{1} (t - 1 - t^{2})\,dt.
Agora calculamos a antiderivada:
\int (t - 1 - t^{2})\,dt = \frac{t^{2}}{2} - t - \frac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliando de t=0 a t=1:
\left[\frac{t^{2}}{2} - t - \frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac12 - 1 - \tfrac13\Bigr) - 0 = -\frac{5}{6}.

Resposta

-\tfrac{5}{6}

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