QUESTÃO 1 [valor: 3,0 pontos]
Calcule as antiderivadas:
[1,0] \int \frac{e^{2 x}}{e^{x}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada indefinida \displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^x+3}\,dx.
O conteúdo principal é escolher uma substituição que torne o integrando mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição \displaystyle u = e^x.
Então \displaystyle du = e^x\,dx, o que nos dá \displaystyle e^{2x}\,dx = e^x\,(e^x\,dx) = u\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{e^{2x}}{e^x+3}\,dx = \int \frac{u}{u+3}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{u}{u+3}\,du, fazemos a divisão algébrica
\frac{u}{u+3} = 1 - \frac{3}{u+3}.
Logo,
\int \frac{u}{u+3}\,du = \int \Bigl(1 - \frac{3}{u+3}\Bigr)\,du = u - 3\ln\lvert u+3\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = e^x, a antiderivada geral é
e^x - 3\ln\bigl(e^x+3\bigr) + C.

Resposta

e^x - 3\ln\bigl(e^x+3\bigr) + C

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