Determine o que se pede:
Seja a função f(x, y, z)=x e^{y z}+\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right). Calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,0,-1) na direção do vetor v=(2,-2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x\,e^{yz}+\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
e pede a derivada direcional em P=(1,0,-1) na direção de v=(2,-2,1).
Conteúdo: cálculo de derivada direcional usando gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Para obter a derivada direcional, primeiro precisamos do gradiente \nabla f=(f_x,f_y,f_z). Calculamos cada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) = e^{yz} + \frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) = xz\,e^{yz} + \frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) = xy\,e^{yz} + \frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 3

Agora avaliamos \nabla f em P=(1,0,-1). Note que yz=0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=1+0+1=2, logo e^{yz}=1.
f_x(1,0,-1)=1+\frac{2\cdot1}{2}=2,\quad f_y(1,0,-1)=1\cdot(-1)+0=-1,\quad f_z(1,0,-1)=0+\frac{2\cdot(-1)}{2}=-1.
Então
\nabla f(1,0,-1) = (2,\,-1,\,-1).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(2,-2,1).
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3,
u = \frac{v}{\|v\|}=\Bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar \nabla f(P)\cdot u:
D_{u}f(1,0,-1) = (2,\,-1,\,-1)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac{4}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = \frac{5}{3}.

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de v é \displaystyle \frac{5}{3}.

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