Determine o que se pede:
Seja z=x^{2} y+\operatorname{sen} y, onde x(t)=e^{i} e y(t)=\ln \left(t^{2}+1\right). Calcule \frac{d z}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = x^{2}y + \operatorname{sen} y
com as parametrizações
x(t)=e^{t},\qquad y(t)=\ln\bigl(t^{2}+1\bigr).
Queremos calcular \dfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} =2x\,y, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =x^{2}+\cos y.

Passo 3

Calcule as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}e^{t} =e^{t}, \qquad \frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) =\frac{2t}{t^{2}+1}.

Passo 4

Aplique a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as expressões obtidas:
\frac{dz}{dt} =2x\,y\;e^{t} +\bigl(x^{2}+\cos y\bigr)\;\frac{2t}{t^{2}+1}.

Passo 5

Por fim, volte a x=e^{t} e y=\ln(t^{2}+1):
\frac{dz}{dt} =2e^{t}\,\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)\;e^{t} +\Bigl(e^{2t}+\cos\bigl(\ln(t^{2}+1)\bigr)\Bigr)\frac{2t}{t^{2}+1}.
Podemos reorganizar:
\frac{dz}{dt} =2e^{2t}\,\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) +\frac{2t\,e^{2t}}{t^{2}+1} +\frac{2t\,\cos\!\bigl(\ln(t^{2}+1)\bigr)}{t^{2}+1}.

Resposta

\frac{dz}{dt} =2e^{2t}\,\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) +\frac{2t\,e^{2t}}{t^{2}+1} +\frac{2t\,\cos\!\bigl(\ln(t^{2}+1)\bigr)}{t^{2}+1}.

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