QUESTÃO 2 [valor: 1,5 ponto]
[1,0] Verifique se f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em (0, 0)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede-se para verificar se f\] é contínua em \((0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos precisar mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.]

Passo 2

Lembrando que uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, o valor de f(x,y) tende a f(0,0). Logo, é suficiente provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Para avaliar esse limite, usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, onde r=\sqrt{x^2+y^2}. Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y) =\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{2\bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr)}{r} =2r\cos\theta\sin\theta =r\sin(2\theta).
Daí
\bigl|f(x,y)\bigr| =\bigl|r\sin(2\theta)\bigr| \le r,
pois \bigl|\sin(2\theta)\bigr|\le1.

Passo 4

Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade \bigl|f(x,y)\bigr|\le r implica
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Logo, esse limite coincide com f(0,0)=0, mostrando que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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