QUESTÃO 2 [valor: 1,5 ponto]
[1,0] Verifique se \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{y-2 x} existe, justificando a resposta dada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{y-2x}
existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites em duas variáveis e testar valores da função ao longo de caminhos diferentes, pois se o limite existir o resultado deve ser o mesmo em todas as direções de aproximação.

Passo 2

Aproximando pelo caminho reto y=kx, com k\neq2, temos
\frac{xy}{y-2x} =\frac{x\,(kx)}{kx-2x} =\frac{kx^2}{x(k-2)} =\frac{kx}{k-2}.
Como x\to0, esse quociente tende a
\frac{k\cdot0}{k-2}=0.

Passo 3

Agora aproximamos pelo caminho não linear dado por
y=2x + x^2.
Nesse caso, o numerador fica
x\,y = x\,(2x + x^2) = 2x^2 + x^3
e o denominador
y - 2x = (2x + x^2) - 2x = x^2.
Portanto
\frac{xy}{y-2x} =\frac{2x^2 + x^3}{x^2} =2 + x
e, quando x\to0, esse valor tende a 2.

Passo 4

Observamos que ao aproximar por retas y=kx (com k\neq2) o limite vale 0, mas ao escolher y=2x+x^2 o limite vale 2. Como os resultados são diferentes conforme o caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados