Determine a perda de carga distribuída para um escoamento nos seguintes casos:
Óleo ( \mu=3,8 \times 10^{-3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=850 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ), Aço comercial, \mathrm{Q}=0,015 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{D}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{~L}= 1 Km

Passo 1

Resumindo: temos um óleo com viscosidade dinâmica \mu = 3{,}8\times10^{-3}\,\mathrm{kg/(m\cdot s)} e densidade \rho = 850\,\mathrm{kg/m^3} escoando em um tubo de aço comercial de diâmetro interno D = 0{,}05\,\mathrm m, vazão volumétrica Q = 0{,}015\,\mathrm{m^3/s} e comprimento L = 1000\,\mathrm m. Queremos a perda de carga distribuída, ou seja, o gradiente de carga hidráulica h_f/L (em m de coluna de fluido por metro) e o gradiente de pressão \Delta p/L. Vamos usar a fórmula de Darcy–Weisbach e coeficiente de atrito dado pela equação de Swamee–Jain (aproximação explícita da Colebrook).

Passo 2

Calcular a velocidade média v no duto a partir de
v = \frac{Q}{A} \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
Portanto,
A = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4}\approx0{,}001963\,\mathrm{m^2}, \quad v = \frac{0{,}015}{0{,}001963}\approx7{,}64\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{850\cdot7{,}64\cdot0{,}05}{3{,}8\times10^{-3}} \approx8{,}5\times10^{4},
o que indica escoamento turbulento \mathrm{Re}\gg4000.

Passo 4

Estimativa do fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25 \biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} +\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2},
onde para tubo de aço comercial toma-se \varepsilon = 0{,}045\,\mathrm{mm} = 4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm m. Calculando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}05}\approx2{,}43\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\approx2{,}10\times10^{-4},
f \approx 0{,}25\bigl[\log_{10}(2{,}43\times10^{-4}+2{,}10\times10^{-4})\bigr]^{-2} \approx0{,}0224.

Passo 5

A perda de carga total em altura de coluna de fluido é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2\,g},
mas o que se pede é a perda de carga distribuída
\frac{h_f}{L} = \frac{f}{D}\,\frac{v^2}{2\,g} = \frac{0{,}0224}{0{,}05}\,\frac{(7{,}64)^2}{2\cdot9{,}81} \approx1{,}33\;\mathrm{m/m}.
O gradiente de pressão correspondente é
\frac{\Delta p}{L} = \rho\,g\,\frac{h_f}{L} = 850\cdot9{,}81\cdot1{,}33 \approx1{,}11\times10^4\;\mathrm{Pa/m}.

Resposta

A perda de carga distribuída é
\frac{h_f}{L}\approx1{,}33\;\mathrm{m\;coluna\;de\;óleo\;por\;m},ó
o que equivale a
\frac{\Delta p}{L}\approx1{,}11\times10^4\;\mathrm{Pa/m}.

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