Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n \frac{\pi}{6}\right)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\!\left(n\frac{\pi}{6}\right)}{n^{2}}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência do numerador é \cos\!\left(n\frac{\pi}{6}\right) (valor periódico, limitado).
  • O denominador é n^{2} (decresce como 1/n^{2}).
  • A pergunta é apenas a classificação da convergência (não é pedido o valor da soma).

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (explicada devagar).
  • Dizemos que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente se a série de valores absolutos \sum |a_{n}| converge. Em símbolos:
\text{absolutamente convergente} \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| \text{ converge.}
  • Se \sum a_{n} converge mas \sum |a_{n}| diverge, chamamos isso de convergência condicional.
  • Um teste muito útil é o teste de comparação: se 0\le b_{n}\le c_{n} para todo n a partir de algum ponto e \sum c_{n} converge, então \sum b_{n} também converge.
Vou aplicar isso à série dada, testando primeiro a convergência absoluta.

Passo 3

Escrevendo a série dos valores absolutos e usando uma desigualdade simples. Para todo n vale
\left|\cos\!\left(n\frac{\pi}{6}\right)\right|\le 1.
Logo, para os termos da série,
0 \le \frac{\left|\cos\!\left(n\frac{\pi}{6}\right)\right|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Aplicando o teste de comparação com a p-série conhecida. A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente, porque é uma série p-com p=2>1 (fato padrão: \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{p} converge sse p>1). Como temos a desigualdade do passo anterior, pelo teste de comparação segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|\cos\!\left(n\frac{\pi}{6}\right)\right|}{n^{2}}
converge.

Passo 5

Conclusão sobre o tipo de convergência. Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Lembrete amigável: convergência absoluta é uma condição mais forte que convergência simples — sempre que \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} também converge (prova rápida via critério de Cauchy das somas parciais).

Resposta

absolutamente convergente

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