Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n \frac{\pi}{6}\right)}{n^{2}}
Se \sum a_{n} converge mas \sum |a_{n}| diverge, chamamos isso de convergência condicional.
Um teste muito útil é o teste de comparação: se 0\le b_{n}\le c_{n} para todo n a partir de algum ponto e \sum c_{n} converge, então \sum b_{n} também converge.
Vou aplicar isso à série dada, testando primeiro a convergência absoluta.
Passo 3
Escrevendo a série dos valores absolutos e usando uma desigualdade simples. Para todo n vale
Aplicando o teste de comparação com a p-série conhecida. A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente, porque é uma série p-com p=2>1 (fato padrão: \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{p} converge sse p>1). Como temos a desigualdade do passo anterior, pelo teste de comparação segue que
Conclusão sobre o tipo de convergência. Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Lembrete amigável: convergência absoluta é uma condição mais forte que convergência simples — sempre que \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} também converge (prova rápida via critério de Cauchy das somas parciais).