Como \operatorname{sen}(n\pi)=0 para todo inteiro n, \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, isso reduz para
Essa é a série harmônica. Pelo teste da integral (ou por conhecimento padrão), a série harmônica diverge, pois
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln t = +\infty,
logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Conclusão: a série dada NÃO é absolutamente convergente.
Passo 5
Verificação de convergência condicional (teste de Leibniz / série alternada): aplicamos o critério de Leibniz para séries da forma \sum (-1)^n a_n com a_n\ge0. As duas hipóteses necessárias são:
a_n é decrescente para n suficientemente grande;
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Aqui temos a_n=\dfrac{1}{n}. Verificações:
É claro que a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=a_n para todo n, então a_n é decrescente.
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge.
Passo 6
Juntando os resultados: a série converge (pela testagem de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois os valores absolutos formam a série harmônica, que diverge). Essa combinação de fatos significa que a série é condicionalmente convergente.