Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \operatorname{sen}\left(\frac{2 n-1}{2} \pi\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série envolve \operatorname{sen} de um múltiplo de \pi.
  • A pergunta é apenas sobre o tipo de convergência (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o valor da função seno para os n inteiros. Observe que
\frac{2n-1}{2}\pi = n\pi - \frac{\pi}{2}.
Usando a fórmula do seno da diferença, \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta, obtemos
\operatorname{sen}\!\left(n\pi-\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(n\pi)\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos(n\pi)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Como \operatorname{sen}(n\pi)=0 para todo inteiro n, \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, isso reduz para
\operatorname{sen}\!\left(n\pi-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos(n\pi).
E como \cos(n\pi)=(-1)^n, temos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)= -(-1)^n = (-1)^{n+1}.

Passo 3

Substituindo essa simplificação no termo geral da série, o somando fica
\frac{1}{n}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Portanto a série original é a série harmônica alternada clássica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 4

Verificação de convergência absoluta: considerar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Essa é a série harmônica. Pelo teste da integral (ou por conhecimento padrão), a série harmônica diverge, pois
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln t = +\infty,
logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Conclusão: a série dada NÃO é absolutamente convergente.

Passo 5

Verificação de convergência condicional (teste de Leibniz / série alternada): aplicamos o critério de Leibniz para séries da forma \sum (-1)^n a_n com a_n\ge0. As duas hipóteses necessárias são:
  1. a_n é decrescente para n suficientemente grande;
  2. \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Aqui temos a_n=\dfrac{1}{n}. Verificações:
  • É claro que a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=a_n para todo n, então a_n é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge.

Passo 6

Juntando os resultados: a série converge (pela testagem de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois os valores absolutos formam a série harmônica, que diverge). Essa combinação de fatos significa que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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