Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=5+cos (x).

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico de f(x)=5+cos(x). O conteúdo aqui é transformações de funções trigonométricas periódicas. Para resolver, vamos usar as propriedades de cos(x): amplitude, período e translação vertical.

Passo 2

A função básica cos(x) tem amplitude 1, período 2pi e vai de -1 até 1. Ao definirmos
f(x)=5+cos(x),
somamos 5 a cada valor de cos(x), o que traduz verticalmente o gráfico em 5 unidades, sem alterar amplitude nem período. Logo, a amplitude de f é 1 e a imagem (intervalo de valores) é
[5-1,;5+1]=[4,6]

Passo 3

O período fundamental de cos(x) é
T=2pi1=2pi
Não há fator de escala no argumento de cos, então o período de f(x) permanece
T=2pi

Passo 4

Para esboçar o gráfico num período típico xin[0,2pi], calculamos pontos-chave:
x=0 &implies f(0)=5+cos(0)=6, x=tfracpi2 &implies fl(tfracpi2r)=5+cos(tfracpi2)=5, x=pi &implies f(pi)=5+cos(pi)=4, x=tfrac3pi2 &implies fl(tfrac3pi2r)=5, x=2pi &implies f(2pi)=6
Ligando esses pontos com uma curva suave, obtemos uma “colina” que começa em (0,6), desce até (pi,4) e volta a (2pi,6). Esse padrão se repete a cada 2pi.

Resposta

Período de : .
Esboço qualitativo em um período :
\(6\) |   *       *    
\(5\) | *   *   *   *  
\(4\) |     * *        
   \(+\)----------------
     \(0\pi\)/\(2\pi 3\pi\)/\(22\pi\)

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