Escolha 3 dos itens a seguir, calcule os limites e explique DETALHADAMENTE sua resolução.
(d) lim x 0(1+2 x)^3x

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0(1+2x)^3x. Esse exercício envolve o estudo de limites exponenciais, onde utilizamos propriedades dos logaritmos e da função exponencial para encontrar a resposta. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências que dependem de x e aplicar a definição do número de Euler, e.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Tomar o logaritmo de ambos os lados ajuda a lidar com a potência que envolve x no denominador. Então, seja:
L = limx 0 (1 + 2x)^3x
Aplicando o logaritmo natural:
ln L = limx 0 3x cdot ln(1 + 2x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de ln(1 + 2x)x conforme x se aproxima de 0. Para isso, usamos a aproximação de que ln(1 + y) approx y quando y é pequeno. Aqui, y = 2x, então:
ln(1 + 2x) approx 2x
Substituindo na expressão do limite:
ln L = limx 0 3x cdot 2x = limx 0 6 = 6

Passo 4

Uma vez que ln L = 6, para encontrar L, usamos a função exponencial, que é a função inversa do logaritmo natural:
L = e^ln L = e^6

Resposta

O limite é e^6.

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