Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2 tg(x).

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x)=2tan(x).
O conteúdo é funções trigonométricas periódicas (em particular a tangente) e suas transformações (escala vertical). Vamos usar que a função tan(x) tem período pi e assíntotas verticais onde o cosseno se anula.

Passo 2

A função básica tan(x) satisfaz
tan(x+pi)=tan(x),
logo o período de tan(x) é pi. Multiplicar por 2 não altera o período, apenas estica verticalmente. Portanto,
T = pi

Passo 3

Para entender o gráfico, primeiro identificamos o domínio e as assíntotas de tan(x). Como tan(x)=sin(x)cos(x), ela se anula onde sin(x)=0 e diverge onde cos(x)=0. Logo:
  • Zeros em x = kpi, kinZ.
  • Assíntotas verticais em x = pi2 + kpi, kinZ.

Passo 4

O fator 2 faz com que os valores de tan(x) sejam duplicados, mas a configuração geral é a mesma:
  • Em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir) a função cresce de -infty a +infty.
  • Por exemplo, em l(-tfracpi2,tfracpi2r):
    • Em x=0: tan(0)=0 Rightarrow f(0)=0.
    • Em x=tfracpi4: tanl(tfracpi4r)=1 Rightarrow fl(tfracpi4r)=2.
    • Em x=-tfracpi4: tanl(-tfracpi4r)=-1 Rightarrow fl(-tfracpi4r)=-2.

Passo 5

Esboço do gráfico em um período l(-tfracpi2,tfracpi2r):
1. Trace linhas verticais (assimptotas) em x=-tfracpi2 e x=tfracpi2.
2. Marque o ponto (0,0), l(tfracpi4,2r) e l(-tfracpi4,-2r).
3. Desenhe uma curva suave que sai de -infty junto a x=-tfracpi2, passa por l(-tfracpi4,-2r), por (0,0), por l(tfracpi4,2r) e se dirige a +infty em xtotfracpi2^-.
4. Repita esse padrão a cada intervalo de comprimento pi, deslocando as assíntotas e zeros por múltiplos de pi.

Resposta

Período: pi.
O gráfico é o de tan(x) esticado verticalmente por fator 2, com zeros em x=kpi, assíntotas em x=tfracpi2+kpi e curvas em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir) crescendo de -infty a +infty.

Exercícios relacionados