[Questão Extra] Explique com as suas palavras o que significa lim x a f(x)=L.

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender, com nossas próprias palavras, o que significa
limx to a f(x) = L
O conteúdo aqui é o conceito de limite de funções em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos primeiro pegar a ideia intuitiva de “aproximação” e depois apresentar a definição formal em termos de varepsilon e de<a.

Passo 2

Intuitivamente, dizer que
limx to a f(x) = L
é afirmar que, quando x fica muito próximo de a (mas sem necessariamente ser igual a a), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Em outras palavras, à medida que a gente “se aproxima” de a, f(x) “se aproxima” de L.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, usamos a definição clássica de limite:
forall varepsilon > 0,;exists de<a > 0 ;tal que, se 0<|x-a|<de<a,;então |f(x)-L|<varepsilon ã
Isso formaliza a ideia de distância: para qualquer margem de erro varepsilon que você escolha em torno de L, existe um intervalo aberto em torno de a (de raio de<a) tal que todo f(x) nessa vizinhança está dentro de varepsilon de L.

Passo 4

É importante notar que nessa definição não exigimos que f(a)=L. O limite fala apenas do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, independente do valor (ou até da não existência) de f(a).

Resposta

Dizer que limx to a f(x)=L significa que podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos (isto é, dentro de qualquer tolerância varepsilon>0) bastando escolher x suficientemente próximo de a (isto é, dentro de uma distância de<a de a). Formalmente, para cada varepsilon>0 existe de<a>0 tal que sempre que 0<|x-a|<de<a então |f(x)-L|<varepsilon. Essa definição garante a ideia de “aproximação arbitrária” de f(x) ao valor L quando x se aproxima de a.

Exercícios relacionados