Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=5 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x)=5\cos\!\Bigl(x-\frac{\pi}{3}\Bigr).
O que precisamos aqui é entender como extrair o período de uma função do tipo A\cos(Bx-C) e depois desenhar uma cópia de \cos x esticada em amplitude e deslocada horizontalmente.

Passo 2

Lembrando que, para uma função \cos(Bx-C), o período T vem de
T = \frac{2\pi}{\lvert B\rvert}.
No nosso caso, temos B=1, pois o argumento é x-\tfrac{\pi}{3}. Logo,
T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi.

Passo 3

Além do período, identificamos a amplitude e o deslocamento de fase:
  • Amplitude =5.
  • Deslocamento (fase) para a direita de \tfrac{\pi}{3}, pois o argumento zero ocorre em x=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, marcamos cinco pontos-chave em um período começando em x=\tfrac{\pi}{3}:
  1. Em x=\tfrac{\pi}{3}, o argumento é zero, então
f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=5\cos0=5.
  1. Um quarto de período \tfrac{T}{4}=\tfrac{\pi}{2} à frente, em x=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{5\pi}{6}, temos
f\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
  1. Meio período \pi à frente, em x=\tfrac{\pi}{3}+\pi=\tfrac{4\pi}{3},
f\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=5\cos\pi=-5.
  1. Três quartos de período \tfrac{3\pi}{2} à frente, em x=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{11\pi}{6},
f\bigl(\tfrac{11\pi}{6}\bigr)=5\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0.
  1. Um período completo 2\pi à frente, em x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi, retornamos a
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+2\pi\Bigr)=5.

Passo 5

Agora, entre esses pontos, traçamos a forma típica de uma cossenoide esticada em 5 e deslocada para a direita. Ou seja, sobe suavemente de 5 até zero, desce até -5, volta a zero e retorna a 5 ao longo de um intervalo de comprimento 2\pi.

Resposta

Período: 2\pi.
Esboço: cósseno com amplitude 5, deslocado \tfrac{\pi}{3} para a direita, com valores-chave \bigl(\tfrac{\pi}{3},5\bigr), \bigl(\tfrac{5\pi}{6},0\bigr), \bigl(\tfrac{4\pi}{3},-5\bigr), \bigl(\tfrac{11\pi}{6},0\bigr), voltando a \bigl(\tfrac{\pi}{3}+2\pi,5\bigr).

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