Encontre todas as raízes da equação \sin ^{2} x-\sin (-x)=0 no intervalo [0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de \sin^{2}x - \sin(-x) = 0
no intervalo [0,2\pi]. Vamos usar identidades trigonométricas básicas e depois resolver a equação fatorada.

Passo 2

Aplicamos a identidade \sin(-x) = -\sin x. Assim,
\sin^{2}x - \sin(-x) = \sin^{2}x + \sin x.

Passo 3

Escrevendo a expressão em forma fatorada, temos
\sin^{2}x + \sin x = \sin x\bigl(\sin x + 1\bigr) = 0.

Passo 4

Da fatoração, surgem duas equações:
  1. \sin x = 0, cujas soluções em [0,2\pi] são
x = 0,\quad x = \pi,\quad x = 2\pi.
  1. \sin x + 1 = 0, ou seja \sin x = -1, cuja solução em [0,2\pi] é
x = \tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

As raízes de \sin^{2}x - \sin(-x) = 0 em [0,2\pi] são
x = 0,\quad x = \pi,\quad x = \tfrac{3\pi}{2},\quad x = 2\pi.

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