Determine o período, a imagem e faça o gráfico das funções:
f(x)=-2 \operatorname{sen}(2 x);

Passo 1

O enunciado pede o período, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x) = -2\,\operatorname{sen}\bigl(2x\bigr).
O conteúdo envolve transformações da função seno: cálculo do período a partir do coeficiente dentro do argumento e identificação da amplitude e reflexões que determinam a imagem, além de esboçar a forma da curva.

Passo 2

Para qualquer função \operatorname{sen}(bx), o período é dado por
T = \frac{2\pi}{|b|}.
Aqui temos b = 2, logo
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.

Passo 3

A amplitude é |-2| = 2. Como não há translação vertical, a imagem (conjunto de valores possíveis de f) é
[-2,\,2].

Passo 4

Vamos identificar pontos típicos num ciclo
(isto é, em 0 \le x \le \pi):
x=0: \operatorname{sen}(2\cdot0)=0 f(0)=0.
x=\tfrac{\pi}{4}: \operatorname{sen}\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-2 (mínimo).
x=\tfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}(\pi)=0 f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
x=\tfrac{3\pi}{4}: \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1 f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=2 (máximo).
x=\pi: \operatorname{sen}(2\pi)=0 f(\pi)=0.

Passo 5

Com esses pontos desenhamos um “S” invertido de amplitude 2 e período \pi, repetido para todos os k\in\mathbb{Z}. Entre cada par de zeros há um mínimo em x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi e um máximo em x=\tfrac{3\pi}{4}+k\pi.

Resposta

Período: \pi
Imagem: [-2,\,2]
Gráfico: curva senoidal invertida de amplitude 2 e período \pi, com zeros em x=k\frac{\pi}{2}, mínimos de valor -2 em x=\frac{\pi}{4}+k\pi e máximos de valor 2 em x=\frac{3\pi}{4}+k\pi.

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