Qual é o domínio das seguintes funções reais?
f(x)=3 \cos \operatorname{sec} (4 x);

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x) = 3\cos\bigl(\operatorname{sec}(4x)\bigr).
Aqui temos uma composição de funções trigonométricas: primeiro aplicamos \operatorname{sec} a 4x e depois aplicamos \cos. Para encontrar o domínio, devemos garantir que cada etapa da composição esteja bem definida.

Passo 2

A função \operatorname{sec}(u) está definida sempre que \cos(u)\neq 0, pois
\operatorname{sec}(u) = \frac{1}{\cos(u)}.
No nosso caso, u = 4x. Logo, precisamos excluir os x tais que
\cos(4x) = 0.

Passo 3

Resolvendo \cos(4x)=0, sabemos que
4x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 4, obtemos
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Fora desses pontos, \operatorname{sec}(4x) está bem definida e, consequentemente, \cos(\operatorname{sec}(4x)) também (pois o cosseno admite qualquer real). Portanto, o domínio de f é todos os reais, exceto
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

O domínio de f é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{8} + \tfrac{k\pi}{4},\,k\in\mathbb{Z}\}.

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