Problema 1(2,0) Calcule:
\operatorname{sec} \left(615^{\circ}\right)

Passo 1

Resumindo, queremos calcular \operatorname{sec}(615^\circ). Para isso, vamos usar as propriedades de periodicidade da função secante, a relação entre secante e cosseno e identidades de soma de ângulos.

Passo 2

Como a função secante tem período 360^\circ, vale que
\operatorname{sec}(615^\circ) = \operatorname{sec}\bigl(615^\circ - 360^\circ\bigr) = \operatorname{sec}(255^\circ).

Passo 3

Observamos que 255^\circ = 180^\circ + 75^\circ. Como \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha), temos
\cos(255^\circ) = -\cos(75^\circ),
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\operatorname{sec}(255^\circ) = \frac{1}{\cos(255^\circ)} = -\frac{1}{\cos(75^\circ)}.

Passo 4

Para calcular \cos(75^\circ), usamos a fórmula de soma de ângulos:
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ).
Sabendo que \cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}, obtemos
\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \;-\;\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Invertendo \cos(75^\circ) para obter \operatorname{sec}(75^\circ):
\operatorname{sec}(75^\circ) = \frac{1}{\cos(75^\circ)} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador:
\operatorname{sec}(75^\circ) = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}.

Passo 6

Como \operatorname{sec}(255^\circ) = -\operatorname{sec}(75^\circ), concluímos que
\operatorname{sec}(255^\circ) = -\bigl(\sqrt{6} + \sqrt{2}\bigr).

Resposta

-\bigl(\sqrt{6} + \sqrt{2}\bigr)

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