Determine o período, a imagem e faça o gráfico das funções:
g(x)=3 \cos (2 x);

Passo 1

O enunciado pede para a função g(x)=3\cos(2x) que encontremos o período, a imagem e o gráfico. O conteúdo envolvido é a análise de funções trigonométricas periódicas: sabemos que uma função do tipo A\cos(Bx) tem período \tfrac{2\pi}{B} e amplitude |A|, o que delimita sua imagem.

Passo 2

Para achar o período de g(x)=3\cos(2x) identificamos o coeficiente angular do argumento do cosseno como B=2. O período padrão do cosseno é 2\pi, logo o período de g é
T = \frac{2\pi}{B}=\frac{2\pi}{2}=\pi.

Passo 3

A amplitude de g é |3|=3. Como o cosseno varia entre -1 e 1, a imagem de g é
\bigl[-3,\,3\bigr].

Passo 4

Para esboçar o gráfico, basta notar que em cada período de comprimento \pi a função assume os valores: g(0)=3, g\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0, g\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-3, g\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=0 e g(\pi)=3. Entre esses pontos, traçamos a curva característica do cosseno (começando em 3, decrescendo a zero, atingindo −3, subindo a zero e voltando a 3). Depois, repetimos esse padrão para esquerda e direita, de modo periódico com período \pi.

Resposta

Período: \pi
Imagem: \bigl[-3,\,3\bigr]
Gráfico: esboço de uma onda cossenoidal com amplitude 3 e período \pi, passando pelos pontos (0,3),(\tfrac{\pi}{4},0),(\tfrac{\pi}{2},-3),(\tfrac{3\pi}{4},0),(\pi,3) e repetindo-se periodicamente.

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