Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\cos \frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo da função
f(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é (1) o fato de que, para \cos(ax), o período T satisfaz a(x+T)=ax+2\pi, e (2) que o alcance (imagem) de \cos é sempre [-1,1].

Passo 2

Para encontrar a imagem de f, basta lembrar que \cos varia entre -1 e 1 para qualquer argumento real. Logo
\text{Im}(f) = [-1,1].

Passo 3

Para achar o período T resolvemos
\cos\!\bigl(\tfrac{x+T}{2}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
o que exige
\tfrac{x+T}{2} = \tfrac{x}{2} + 2\pi \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{T}{2}=2\pi \quad\Longrightarrow\quad T=4\pi.
Portanto o período mínimo positivo é 4\pi.

Passo 4

Para esboçar o gráfico num ciclo inteiro escolhemos o intervalo [0,4\pi]. Os pontos-chave são
(0,1),\;(\pi,0),\;(2\pi,-1),\;(3\pi,0),\;(4\pi,1),
porque em cada ponto x o argumento \tfrac{x}{2} vale 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. A curva é a típica “ondinha” do cosseno, começando em 1, descendo até -1 e voltando a 1.

Resposta

Período: 4\pi
Imagem: [-1,1]
Gráfico em um período completo (de 0 a 4\pi): curva de cosseno passando por (0,1)\to(\pi,0)\to(2\pi,-1)\to(3\pi,0)\to(4\pi,1).

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