Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1+2 \cdot \cos 3 x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1+2\cos(3x)
definida em \mathbb{R}. O conteúdo aqui é análise de função trigonométrica: precisamos usar que a função \cos tem período 2\pi e imagem [-1,1]. Com isso, poderemos achar o período de f, sua imagem e depois esboçar o gráfico em um período completo.

Passo 2

Para achar o período de f note que, em geral, \cos(kx) tem período T tal que
kT = 2\pi.
Aqui k=3, logo
3T = 2\pi \qquad\Longrightarrow\qquad T = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

A imagem de \cos(3x) é [-1,1]. Como
f(x)=1+2\cos(3x),
multiplicamos esse intervalo por 2 e somamos 1, obtendo
\min f = 1 + 2\cdot(-1)= -1, \qquad \max f = 1 + 2\cdot 1 = 3.
Portanto, a imagem de f é
\bigl[-1,\,3\bigr].

Passo 4

Para esboçar o gráfico num período completo, escolhemos o intervalo \bigl[0,\tfrac{2\pi}{3}\bigr]. Calculamos valores-chave:
Em x=0:
f(0)=1+2\cos(0)=3.
Em x=\tfrac{\pi}{6}:
f\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =1+2\cos\!\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr) =1+2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =1+2\cdot 0 =1.
Em x=\tfrac{\pi}{3}:
f\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =1+2\cos(\pi) =1+2\cdot(-1) =-1.
Em x=\tfrac{\pi}{2}:
f\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =1+2\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =1+2\cdot 0 =1.
Em x=\tfrac{2\pi}{3}:
f\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =1+2\cos(2\pi) =3.
O gráfico em \bigl[0,\tfrac{2\pi}{3}\bigr] é a curva suave que parte de (0,3), desce passando por (\tfrac{\pi}{6},1) até o mínimo (\tfrac{\pi}{3},-1), e retorna em (\tfrac{\pi}{2},1) ao ponto final (\tfrac{2\pi}{3},3), completando um ciclo de amplitude 2 centrado em y=1.

Resposta

Período: \displaystyle \frac{2\pi}{3}
Imagem: \bigl[-1,3\bigr]
Gráfico em \bigl[0,\tfrac{2\pi}{3}\bigr]: curva senoidal partindo de (0,3), alcançando mínimo (\tfrac{\pi}{3},-1) e retornando a (\tfrac{2\pi}{3},3).

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