Exercício 5. Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=lang<=-x,-y, z^2rang<= e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=2, com n apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec n,dS de vec F(x,y,z)=lang<= -x,-y,z^2rang<= pela parte do cone z=raizx^2+y^2 entre z=1 e z=2, com a normal apontando para cima. O conteúdo envolve parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e integrar o produto escalar.

Passo 2

Vamos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas modificadas. Definimos rin[1,2] e thetain[0,2pi], e a parametrização
r(r,theta)=llang<= rcostheta,,rsintheta,,rrrang<=

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
rr=partial rpartial r=lang<=costheta,,sintheta,,1rang<=, rtheta=partial rpartialtheta=lang<= -rsintheta,,rcostheta,,0rang<=,
e o produto vetorial para obter o vetor normal orientado para cima:
rrtimes rtheta=lang<= -rcostheta,,rsintheta,,rrang<=,
que tem magnitude | rrtimes rtheta|=rraiz2 e aponta para cima (pois a componente em z é positiva).

Passo 4

Expressamos vec F no parâmetro:
vec F( r(r,theta))=lang<= -rcostheta,,-rsintheta,,r^2rang<=

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar no elemento de área não-unitário:
vec Fcdot( rrtimes rtheta)=(-rcostheta)(-rcostheta)+(-rsintheta)(rsintheta)+r^2cdot r=r^2cos^2theta-r^2sin^2theta+r^3=r^2cos2theta+r^3

Passo 6

Por fim, integramos em r e theta:
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral0^2piintegral1^2l(r^2cos2theta+r^3r),dr,dtheta

Passo 7

O termo com cos2theta some ao integrar em theta, sobrando
2piintegral1^2r^3,dr=2pil[r^44r]1^2=2pil(16-14r)=15pi2

Resposta

15pi2

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