Exercício 5. Calcule a integral
.
e
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, com
apontando para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
de
pela parte do cone
entre
e
, com a normal apontando para cima. O conteúdo envolve parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e integrar o produto escalar.
Passo 2
Vamos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas modificadas. Definimos
e
, e a parametrização
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes
e o produto vetorial para obter o vetor normal orientado para cima:
que tem magnitude
e aponta para cima (pois a componente em
é positiva).
Passo 4
Expressamos
no parâmetro:
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar no elemento de área não-unitário:
Passo 6
Por fim, integramos em
e
:
Passo 7
O termo com
some ao integrar em
, sobrando