DETERMINE:
  1. Os periodos e as frequência para as seguintes situações:
    a) Massas diferentes e comprimentos do pêndulo iguais.
    b) Massas iguais e comprimentos diferentes do pêndulo.
Observe: Coloque os valores encontrados respectivamente nas tabelas 1 e 2 e calcule os valores médios do período e frequência para cada situação.
2. A aceleração da gravidade, g , utilizando o valor médio do período encontrado na tabela 1 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Determinar os períodos e as frequências para duas situações:
    a) massas diferentes e comprimentos do pêndulo iguais;
    b) massas iguais e comprimentos do pêndulo diferentes.
    Também pede que eu coloque os valores encontrados nas tabelas 1 e 2 e calcule os valores médios do período e da frequência para cada situação.
  2. Calcular a aceleração da gravidade g utilizando o valor médio do período encontrado na tabela 1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As situações físicas (a) e (b) estão descritas, mas o enunciado não trouxe medições numéricas (nem as Tabelas 1 e 2 com valores experimentais). Portanto não tenho dados numéricos para preencher as tabelas nem para calcular médias numéricas.
Consequência prática: posso deduzir as expressões teóricas para período e frequência e explicar passo a passo como preencher as tabelas e calcular médias e g. Mas não consigo fornecer valores numéricos finais (médias ou g) porque as medições/tabelas não foram enviadas.

Passo 2

Modelo físico e fórmula fundamental do pêndulo simples (aula rápida e amigável).
  • Considere um pêndulo simples: uma massa puntiforme presa por um fio de comprimento L que oscila em pequenas amplitudes. Para pequenas oscilações a força restauradora é aproximadamente linear em relação ao deslocamento angular — isso leva a um movimento harmônico simples.
Derivação rápida (sem pular etapas importantes):
  • A força tangencial que atua na massa é -mg\sin\theta, onde \theta(t) é o ângulo pequeno em relação à vertical. O momento de inércia para a massa puntiforme é mL^2, então a equação do movimento angular é
mL^2 \,\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgL\sin\theta.
  • Para pequenas oscilações usamos a aproximação \sin\theta \approx \theta. Assim
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
  • Essa é a equação do movimento harmônico simples com pulsação angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado a \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Expliquei cada variável: T é o período, L é o comprimento do fio, g é a aceleração da gravidade local, \omega é a pulsação angular.

Passo 3

Consequências importantes e interpretação física (isso responde a parte conceitual da 1a e 1b):
  • Observação-chave: a expressão \displaystyle T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} não contém a massa m. Logo, no regime de pêndulo simples (pequenas oscilações), o período é independente da massa. Isso resolve a situação (a).
  • Situação (a) — massas diferentes e comprimentos iguais:
    • Se os dois pêndulos têm o mesmo comprimento L mas massas diferentes m_1 e m_2, os períodos teóricos serão iguais:
    T_1 = T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
    • A frequência é o inverso do período. Definimos frequência (nº de oscilações por segundo) como f = 1/T. Então
    f_1 = f_2 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}.

Passo 4

Como colocar os valores na Tabela 1 e calcular médias (procedimento passo a passo, sem números):
  • Supondo que na Tabela 1 você anotou várias repetições experimentais de tempos de oscilação para cada massa (por exemplo T_{1,1}, T_{1,2},\dots para a massa 1 e T_{2,1},T_{2,2},\dots para a massa 2), você deve:
    1. Para cada medição anotar o período experimental (por exemplo, o tempo de várias oscilações dividido pelo número de oscilações) — esses são os T_{i,j}.
    2. Calcular a média do período para cada pêndulo: se houver N medições do mesmo pêndulo,
    \bar{T}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} T_{j}.
    1. Calcular as frequências experimentais correspondentes a cada medição por
    f_{j}=\frac{1}{T_{j}},e a média das frequências por \bar{f}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} f_{j}.
  • Atenção didática importante: a média das frequências \bar{f} não é necessariamente igual ao inverso da média dos períodos 1/\bar{T}. São dois procedimentos distintos; use o que o enunciado pedir (se pedir média do período e da frequência, calcule cada média separadamente como acima).

Passo 5

Situação (b) — massas iguais e comprimentos diferentes; fórmulas e como preencher a Tabela 2.
  • Se as massas são iguais mas os comprimentos são diferentes L_1, L_2, \dots, então cada comprimento dá um período diferente:
T_i = 2\pi\sqrt{\dfrac{L_i}{g}},\qquad i=1,2,\dots
e as frequências
f_i = \dfrac{1}{T_i} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L_i}}.
  • Procedimento para a Tabela 2:
    1. Para cada comprimento L_i, faça várias medições T_{i,1},T_{i,2},\dots.
    2. Calcule a média do período para cada comprimento:
    \bar{T}_i = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} T_{i,j}.
    1. Calcule as frequências experimentais f_{i,j}=1/T_{i,j} e a média \bar{f}_i=\dfrac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} f_{i,j}.

Passo 6

Como calcular g usando o valor médio do período da Tabela 1 (passo a passo e derivação algebrica).
  • Partimos da fórmula teórica
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Isolando g:
T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g} \quad\Longrightarrow\quad g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}.
  • Se você usou a Tabela 1 (situação com comprimentos iguais) e obteve a média experimental do período \bar{T}, a estimativa de g é
g = \frac{4\pi^2 L}{\bar{T}^2},
onde L é o comprimento (o mesmo usado nos pêndulos da Tabela 1) e \bar{T} é o valor médio do período calculado experimentalmente.
  • Observação prática: para reduzir erro experimental é melhor medir o tempo de muitas oscilações e dividir para obter um T médio por oscilação, e também fazer várias repetições para calcular \bar{T}.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (hipotético) — só para ensinar o procedimento numérico (não é resultado do seu experimento):
  • Suponha que L=1{,}00\\ \text{m} e que você mediu 5 vezes e obteve períodos (por exemplo) T_j = 2{,}01, 2{,}00, 2{,}02, 1{,}99, 2{,}00 s. Então
\bar{T}=\frac{2{,}01+2{,}00+2{,}02+1{,}99+2{,}00}{5}=2{,}004\\ \text{s}.
  • A estimativa de g seria
g=\frac{4\pi^2\cdot 1{,}00}{(2{,}004)^2}\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Esse exemplo é apenas ilustrativo para você ver como preencher a tabela, calcular médias e obter g. Substitua pelos seus dados experimentais reais.

Resposta

1a) Período: T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} (igual para massas diferentes); Frequência: f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}. Médias: \displaystyle \bar{T}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N T_j,\;\bar{f}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N f_j.
1b) Para cada comprimento L_i: T_i=2\pi\sqrt{\dfrac{L_i}{g}},\; f_i=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L_i}}. Médias por comprimento: \displaystyle \bar{T}_i=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N T_{i,j},\;\bar{f}_i=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N f_{i,j}.
2) Usando o valor médio do período da Tabela 1: \displaystyle g=\frac{4\pi^2 L}{\bar{T}^2}. (Não foi possível fornecer valores numéricos porque as medições / Tabelas 1 e 2 não foram enviadas.)

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