1.6 QUESTÕES
  1. Os valores encontrados para o período e a frequência são iguais ou diferentes, quando o pêndulo tem o mesmo comprimento e diferentes massas?
  2. E quando têm massas iguais e comprimentos diferentes?
  3. Qual a conclusão que você chega?
  4. Qual o erro percentual no cálculo da aceleração da gravidade local? Por que apresentou este erro?
  5. Quando um relógio de pêndulo simples é transportado de uma região quente, por exemplo, Rio de Janeiro, para uma região fria, por exemplo, a Sibéria, ele atrasa ou adianta?

Passo 1

Liste do que o enunciado pede e as informações dadas:
  1. Pergunta 1: comparar os valores do período e da frequência quando dois pêndulos têm o mesmo comprimento e massas diferentes.
  2. Pergunta 2: comparar quando têm massas iguais e comprimentos diferentes.
  3. Pergunta 3: tirar uma conclusão geral a partir das duas primeiras.
  4. Pergunta 4: calcular/explicar o erro percentual no cálculo da aceleração da gravidade local e justificar por que ocorreu esse erro.
  5. Pergunta 5: dizer se um relógio de pêndulo transportado de uma região quente para uma fria atrasa ou adianta.
    Informações implícitas que usaremos: pêndulo simples ideal (massa concentrada em um ponto, fio inextensível, ângulos pequenos), medidas de comprimento L e de tempo (período T) são feitas experimentalmente.

Passo 2

Derivação da fórmula do período para pêndulo simples (a ideia central que vamos usar): escrever a equação do movimento e aplicar a aproximação de pequenos ângulos.
Explicação passo a passo:
  • Considere um pêndulo de massa m suspensa por um fio de comprimento L. Quando deslocamos o pêndulo por um pequeno ângulo \theta (em radianos), a força restauradora tangencial é -mg\sin\theta.
  • Para pequenos ângulos podemos usar a aproximação
\sin\theta \approx \theta,
porque para \theta em radianos essa diferença é muito pequena se \theta \lesssim 0,1\\ \text{rad} (≈ 5{,}7^\circ) ou até um pouco maior com erro aceitável.
  • A equação de movimento angular (torque = momento de inércia × aceleração angular) para o pêndulo reduz-se à forma:
mL\ddot{\theta} + mg\theta = 0.
  • Dividindo por mL obtemos a equação diferencial simples:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0.
  • Esta é a equação de um oscilador harmônico com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) e a frequência f são:
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.
Aqui: g é a aceleração da gravidade local, L é o comprimento do fio (do ponto de suspensão até o centro de massa da massa), m é a massa do corpo (que desapareceu da equação final).

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos itens 1 e 2:
  • Para massas diferentes e mesmo comprimento L: da fórmula \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} vemos que T não depende de m. Assim, dois pêndulos com o mesmo L têm o mesmo período T e, portanto, a mesma frequência f, mesmo que as massas sejam diferentes. Conclusão prática: massa não altera T (dentro do modelo de pêndulo simples).
  • Para massas iguais e comprimentos diferentes L_1 e L_2: a relação entre períodos é
\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}.
Logo, comprimentos diferentes produzem períodos diferentes (e frequências diferentes). Se L aumenta, T aumenta proporcionalmente à raiz quadrada de L.

Passo 4

Conclusão geral (resposta à pergunta 3, mas com justificativa física e dica prática para prova):
  • Conclusão: o período (e a frequência) de um pêndulo simples, no regime de pequenos ângulos, é independente da massa e depende apenas do comprimento L e de g. Em prova, cite a fórmula \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} e mencione explicitamente que m cancela na equação do movimento.

Passo 5

Como calcular experimentalmente g e o erro percentual (resposta e método para a pergunta 4):
  • Reorganizando a fórmula para obter g a partir de medidas de L e T:
g_{\text{exp}}=\frac{4\pi^2 L}{T^2}.
Explique o que medir e como reduzir erro: meça L do ponto de suspensão até o centro de massa do pêndulo; meça T cronometrando muitas oscilações N e dividindo pelo número N para obter o período médio (isso reduz o erro de reação humana). Use ângulos pequenos.
  • Se quiser o erro percentual comparando com um valor de referência g_{\text{ref}} (por exemplo 9{,}80665\\ \text{m/s}^2), calcule:
\text{erro percentual}=\left|\frac{g_{\text{exp}}-g_{\text{ref}}}{g_{\text{ref}}}\right|\times 100\%.
  • Propagação aproximada dos erros de medição (incertezas): se \Delta L é a incerteza em L e \Delta T a incerteza em T, a incerteza relativa em g é (tomando módulos)
\frac{\Delta g}{g}\approx \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}.
Isto vem de diferenciar \ln g=\ln(4\pi^2)+\ln L -2\ln T. Em percentual:
\%\Delta g \approx \left(\frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}\right)\times 100\%.
  • Por que geralmente aparece erro no cálculo de g? Principais causas práticas:
    • erro no comprimento medido (onde é o centro de massa, posição do pivô);
    • erro no tempo devido a reação humana; por isso cronometrar muitas oscilações é obrigatório;
    • amplitude angular grande (fora da aproximação \sin\theta\approx\theta); para amplitude inicial \theta_0 existe correção do tipo T\approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}+\dots\right);
    • resistência do ar, atrito no pivô, oscilações não puramente planas;
    • variação local de g com latitude e altitude (o valor de referência pode não coincidir exatamente com o local do experimento);
    • erros sistemáticos (instrumento mal calibrado, leitura tendenciosa).
  • Exemplo numérico ilustrativo (sem que você precise de calculadora na prova, é só para intuição): se L=1{,}000\\ \text{m}\pm0{,}005\\ \text{m} e T=2{,}004\\ \text{s}\pm0{,}010\\ \text{s}, então incerteza relativa aproximada em g seria
\frac{\Delta g}{g}\approx \frac{0{,}005}{1{,}000}+2\frac{0{,}010}{2{,}004}\approx 0{,}005 + 0{,}00998\approx 0{,}01498,
ou cerca de 1{,}5\%. (Isto mostra que pequenos erros no tempo podem dominar.)

Passo 6

Resposta à pergunta 5 (com física e exemplo de cálculo de efeito térmico):
  • Efeito térmico qualitativo: ao levar um relógio de pêndulo de uma região quente para uma fria o material do fio/bastão se contrai (reduz L), então o período diminui e o relógio passa a marcar o tempo mais rápido — isto é, o relógio “adianta”.
  • Quantificação rápida usando coeficiente de dilatação linear \alpha:
\frac{\Delta L}{L}=\alpha\,\Delta T_{\text{amb}},
então a mudança relativa no período é, a primeiro ordem,
\frac{\Delta T}{T}\approx \frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}=\frac{1}{2}\alpha\,\Delta T_{\text{amb}}.
Se \Delta T_{\text{amb}}<0 (queda de temperatura), então \Delta T<0 e o relógio adianta.
  • Exemplo numérico rápido: para um metal com \alpha\approx 1{,}2\times 10^{-5}\,^\circ\text{C}^{-1} e uma queda de temperatura de -30^\circ\text{C},
\frac{\Delta T}{T}\approx \tfrac{1}{2}(1{,}2\times 10^{-5})(-30) \approx -1{,}8\times 10^{-4}.
Isto equivale a um avanço de aproximadamente 86400\times1{,}8\times10^{-4}\approx 15{,}6\\ \text{s} por dia — um efeito mensurável se não houver compensação térmica no projeto do relógio.

Resposta

  1. São iguais — para o mesmo comprimento L o período T e a frequência f não dependem da massa m.
  2. São diferentes — T varia como T=2\pi\sqrt{L/g}, logo comprimentos diferentes dão períodos diferentes.
  3. Conclusão: o período do pêndulo simples (para pequenos ângulos) é independente da massa e depende do comprimento L e de g segundo \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  4. Erro percentual: \displaystyle \text{erro \%}=\left|\dfrac{g_{\text{exp}}-g_{\text{ref}}}{g_{\text{ref}}}\right|\times100\%, com g_{\text{exp}}=\dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}}. A incerteza relativa aproximada é \displaystyle \frac{\Delta g}{g}\approx\frac{\Delta L}{L}+2\frac{\Delta T}{T}. Erros surgem por imprecisão em L e T, amplitude grande, atrito, resistência do ar e variação local de g.
  5. Ao transportar para uma região mais fria o relógio de pêndulo geralmente adianta (fica mais rápido), porque o material contrai diminuindo L e assim diminuindo T.

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