Determine um vetor paralelo à reta s : \left\{\begin{array}{l}x+y-3=0 \\\\ 2 x-y+z+2=0\end{array}\right. resp.: \vec{v}=(1,-1,-3)

Passo 1

O enunciado pede: "Determine um vetor paralelo à reta s\)" dada pelo sistema de equações \[\begin{cases} x+y-3=0\\[4pt] 2x-y+z+2=0 \end{cases}
Informações fornecidas:
  • As duas equações representam dois planos em \mathbb{R}^3\]. - A reta \(s é a interseção desses dois planos (ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações).
    - Queremos um vetor que seja paralelo a essa reta s.]

Passo 2

Idéia principal (explicação conceitual): cada plano tem um vetor normal — isto é, um vetor perpendicular a todo vetor contido no plano. Se uma reta é interseção de dois planos, então a direção da reta é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos. Portanto, um vetor paralelo à reta pode ser obtido calculando um vetor perpendicular simultaneamente aos dois normais — isto é, o produto vetorial (cross product) dos dois vetores normais.
Vou mostrar com calma como extrair os normais e como calcular o produto vetorial.

Passo 3

Extrair os vetores normais das equações dos planos: em uma equação de plano na forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c).
Aplicando isso:
  • Para o plano x+y-3=0 os coeficientes de x,y,z são 1,1,0. Logo o vetor normal é
\mathbf{n}_1 = (1,1,0).
  • Para o plano 2x-y+z+2=0 os coeficientes de x,y,z são 2,-1,1. Logo o vetor normal é
\mathbf{n}_2 = (2,-1,1).

Passo 4

O produto vetorial (cross product) de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é um vetor dado por
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários das direções x,y,z. Esse determinante se expande em componentes:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Propriedade importante: \mathbf{a}\times\mathbf{b} é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. É justamente o que precisamos: um vetor perpendicular aos dois normais é paralelo à reta de interseção.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 usando a fórmula de componentes. Tomando \mathbf{n}_1=(1,1,0) e \mathbf{n}_2=(2,-1,1), temos:
  • componente x:
1\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 1 - 0 = 1,
  • componente y:
0\cdot 2 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1,
(observe a fórmula para a segunda componente: a_3 b_1 - a_1 b_3)
  • componente z:
1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1 - 2 = -3.
Portanto
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = (1,-1,-3).

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): confira que o vetor encontrado é perpendicular aos dois normais calculando os produtos escalares. Calculamos
\mathbf{n}_1\cdot(1,-1,-3)=1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot(-3) = 1-1+0 = 0,
\mathbf{n}_2\cdot(1,-1,-3)=2\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-3) = 2+1-3 = 0.
Ambos são zero, então o vetor (1,-1,-3) é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2, logo é paralelo à reta de interseção. Também vale lembrar: qualquer múltiplo escalar não nulo de (1,-1,-3) também é vetor direção válido.

Passo 7

Resumo prático para usar na prova:
  • Pegue os coeficientes de x,y,z em cada equação de plano: esses são os normais.
  • Calcule o produto vetorial desses dois normais (pode usar a fórmula dos determinantes ou a fórmula das componentes).
  • O resultado é um vetor paralelo à reta interseção. Sempre cheque com produtos escalares para confirmar se quiser.

Resposta

\vec{v}=(1,-1,-3)

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