Determine um vetor paralelo à reta s : \left\{\begin{array}{l}x+y-3=0 \\\\ 2 x-y+z+2=0\end{array}\right. resp.: \vec{v}=(1,-1,-3)
Passo 1
O enunciado pede: "Determine um vetor paralelo à reta s\)" dada pelo sistema de equações
\[\begin{cases} x+y-3=0\\[4pt] 2x-y+z+2=0 \end{cases}
Informações fornecidas:
As duas equações representam dois planos em \mathbb{R}^3\].
- A reta \(s é a interseção desses dois planos (ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações).
- Queremos um vetor que seja paralelo a essa reta s.]
Passo 2
Idéia principal (explicação conceitual): cada plano tem um vetor normal — isto é, um vetor perpendicular a todo vetor contido no plano. Se uma reta é interseção de dois planos, então a direção da reta é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos. Portanto, um vetor paralelo à reta pode ser obtido calculando um vetor perpendicular simultaneamente aos dois normais — isto é, o produto vetorial (cross product) dos dois vetores normais.
Vou mostrar com calma como extrair os normais e como calcular o produto vetorial.
Passo 3
Extrair os vetores normais das equações dos planos: em uma equação de plano na forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c).
Aplicando isso:
Para o plano x+y-3=0 os coeficientes de x,y,z são 1,1,0. Logo o vetor normal é
\mathbf{n}_1 = (1,1,0).
Para o plano 2x-y+z+2=0 os coeficientes de x,y,z são 2,-1,1. Logo o vetor normal é
\mathbf{n}_2 = (2,-1,1).
Passo 4
O produto vetorial (cross product) de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é um vetor dado por
Propriedade importante: \mathbf{a}\times\mathbf{b} é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. É justamente o que precisamos: um vetor perpendicular aos dois normais é paralelo à reta de interseção.
Passo 5
Calcular o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 usando a fórmula de componentes. Tomando \mathbf{n}_1=(1,1,0) e \mathbf{n}_2=(2,-1,1), temos:
componente x:
1\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 1 - 0 = 1,
componente y:
0\cdot 2 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1,
(observe a fórmula para a segunda componente: a_3 b_1 - a_1 b_3)
componente z:
1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1 - 2 = -3.
Portanto
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = (1,-1,-3).
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): confira que o vetor encontrado é perpendicular aos dois normais calculando os produtos escalares. Calculamos
Ambos são zero, então o vetor (1,-1,-3) é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2, logo é paralelo à reta de interseção. Também vale lembrar: qualquer múltiplo escalar não nulo de (1,-1,-3) também é vetor direção válido.
Passo 7
Resumo prático para usar na prova:
Pegue os coeficientes de x,y,z em cada equação de plano: esses são os normais.
Calcule o produto vetorial desses dois normais (pode usar a fórmula dos determinantes ou a fórmula das componentes).
O resultado é um vetor paralelo à reta interseção. Sempre cheque com produtos escalares para confirmar se quiser.