Determine o plano que passa pelos pontos (1 1 2) e (-1 1 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x,y)=xy
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco de geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos e superfícies. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações de planos e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço pode ser escrita como:
onde
,
e
são constantes que determinam a inclinação e a posição do plano.
Passo 3
Como o plano passa pelos pontos
e
, podemos substituir esses pontos na equação do plano para obter duas equações:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas duas equações para descobrir uma relação entre
e
. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Passo 5
Com
, vamos substituir na Equação 1 para encontrar
:
Passo 6
Agora, precisamos garantir que o plano seja tangente ao gráfico de
. A condição de tangência significa que o plano toca a superfície em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação naquele ponto.
A derivada parcial de
em relação a
é
e em relação a
é
. Então, o plano tangente na ponto
é:
Comparando com a equação geral do plano
, vemos que:
Passo 7
Sabendo que
, temos:
Além disso, da Equação 3:
Passo 8
Com
e
, podemos encontrar
:
Passo 9
Agora temos todos os valores:
Portanto, a equação do plano é:
Resposta
O plano que passa pelos pontos
e
e é tangente ao gráfico de
é: