Determine o plano que passa pelos pontos (1 1 2) e (-1 1 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x,y)=xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico da função f(x, y) = xy. Isso envolve entender um pouco de geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos e superfícies. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações de planos e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço pode ser escrita como:
z = px + qy + r
onde p, q e r são constantes que determinam a inclinação e a posição do plano.

Passo 3

Como o plano passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1), podemos substituir esses pontos na equação do plano para obter duas equações:
Para o ponto (1, 1, 2):
2 = p(1) + q(1) + r Rightarrow p + q + r = 2 (Equação 1) çã
Para o ponto (-1, 1, 1):
1 = p(-1) + q(1) + r Rightarrow -p + q + r = 1 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora, vamos resolver essas duas equações para descobrir uma relação entre p e q. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(p + q + r) - (-p + q + r) = 2 - 1 2p = 1 p = 12

Passo 5

Com p = 12, vamos substituir na Equação 1 para encontrar q + r:
12 + q + r = 2 q + r = 32 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora, precisamos garantir que o plano seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy. A condição de tangência significa que o plano toca a superfície em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação naquele ponto.
A derivada parcial de f(x, y) em relação a x é y e em relação a y é x. Então, o plano tangente na ponto (x0, y0, z0) é:
z = y0 x + x0 y - x0 y0
Comparando com a equação geral do plano z = px + qy + r, vemos que:
p = y0, q = x0, r = -x0 y0

Passo 7

Sabendo que p = 12, temos:
y0 = 12 e q = x0
Além disso, da Equação 3:
q + r = 32 x0 + (-x0 y0) = 32 x0 - x0 cdot 12 = 32 x02 = 32 x0 = 3

Passo 8

Com x0 = 3 e y0 = 12, podemos encontrar r:
r = -x0 y0 = -3 cdot 12 = -32

Passo 9

Agora temos todos os valores:
p = 12, q = 3, r = -32
Portanto, a equação do plano é:
z = 12x + 3y - 32

Resposta

O plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e é tangente ao gráfico de f(x, y) = xy é:
z = 12x + 3y - 32

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