A matriz inversa da matriz [ a b / c d] é a matriz [ 1 0 / 2c-3 -1] calcule o valor de a+b+c+d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz $ a & b c & d $ e sua inversa $ 1 & 0 2c-3 & -1 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ a + b + c + d $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e propriedades delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é calculada a inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $. Se temos uma matriz $ M = 2 times 2 $, sua inversa $ M^{-1} $ é dada por:
M = a & b c & d
Aqui, $ ad - bc $ é o determinante da matriz $ M $.

Passo 3

Agora, vamos igualar a inversa que calculamos com a que foi fornecida no enunciado:
1ad - bc d & -b -c & a = 1 & 0 2c - 3 & -1
Isso nos dá um sistema de equações ao comparar cada elemento correspondente das duas matrizes.

Passo 4

Vamos escrever as equações resultantes:
  1. dad - bc = 1
  2. -bad - bc = 0
  3. -cad - bc = 2c - 3
  4. aad - bc = -1

Passo 5

Vamos começar com a segunda equação:
-bad - bc = 0
Para isso ser verdade, o numerador deve ser zero, então:
-b = 0 Rightarrow b = 0

Passo 6

Com $ b = 0 $, a primeira equação fica:
b = 0

Passo 7

Agora, com $ a = 1 $, a quarta equação é:
a = 1

Passo 8

Por último, vamos usar a terceira equação com $ d = -1 $:
d = -1
Resolvendo para $ c $:
-c-1 = 2c - 3 Rightarrow c = 2c - 3

Resposta

Somando os valores encontrados:
a + b + c + d = 1 + 0 + 3 + (-1) = 3
O valor de $ a + b + c + d $ é 3.

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