A matriz inversa da matriz [ a b / c d] é a matriz [ 1 0 / 2c-3 -1] calcule o valor de a+b+c+d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz $
$ e sua inversa $
$. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ a + b + c + d $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e propriedades delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é calculada a inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $. Se temos uma matriz $ M =
$, sua inversa $ M^{-1} $ é dada por:
Aqui, $ ad - bc $ é o determinante da matriz $ M $.
Passo 3
Agora, vamos igualar a inversa que calculamos com a que foi fornecida no enunciado:
Isso nos dá um sistema de equações ao comparar cada elemento correspondente das duas matrizes.
Passo 4
Vamos escrever as equações resultantes:
Passo 5
Vamos começar com a segunda equação:
Para isso ser verdade, o numerador deve ser zero, então:
Passo 6
Com $ b = 0 $, a primeira equação fica:
Passo 7
Agora, com $ a = 1 $, a quarta equação é:
Passo 8
Por último, vamos usar a terceira equação com $ d = -1 $:
Resolvendo para $ c $:
Resposta
Somando os valores encontrados:
O valor de $ a + b + c + d $ é 3.