Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 3 y ′′ − 3 y ′ − 18 y = 360 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
.
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares. Para resolver, a gente vai precisar:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
- Juntar tudo para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
.
A gente começa encontrando a equação característica. Isso é feito substituindo
por
, o que nos dá a equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
:
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
.
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: