Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 3 y ′′ − 3 y ′ − 18 y = 360 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: 3 y'' - 3 y' - 18 y = 360.
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
  3. Juntar tudo para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: 3 y'' - 3 y' - 18 y = 0.
A gente começa encontrando a equação característica. Isso é feito substituindo y por e^rt, o que nos dá a equação:
3r^2 - 3r - 18 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para r:
3r^2 - 3r - 18 = 0
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
r^2 - r - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, as raízes são:
r1 = 3
r2 = -2

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^3x + C2 e^-2x
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar com condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa 3 y'' - 3 y' - 18 y = 360.
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante. Vamos supor que yp = A, onde A é uma constante.

Passo 6

Substituindo yp = A na equação:
3(0) - 3(0) - 18A = 360
-18A = 360
A = -20
Então, a solução particular é:
yp = -20

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^-2x - 20

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^3x + C2 e^-2x - 20

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