Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície e^{x}+y^{2}+z^{2}=4 no ponto P(0,1,1).
Plano: 1(x-0)+2(y-1)+2(z-1)=0 \Longrightarrow x+2(y-1)+2(z-1)=0,
Reta: (x, y, z)=(0,1,1)+t(1,2,2).

Passo 1

O enunciado fornece a superfície definida implicitamente por
e^{x}+y^{2}+z^{2}=4
e o ponto P(0,1,1) sobre essa superfície. Ele pede duas coisas:
  1. o plano tangente à superfície em P;
  2. a reta normal à superfície que passa por P.
Informações relevantes dadas:
\text{Equação da superfície: }e^{x}+y^{2}+z^{2}=4, \qquad P=(0,1,1).çãí

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do conceito usado):
Quando uma superfície é dada implicitamente por uma função
F(x,y,z)=0,
o vetor gradiente de F, que escrevemos \nabla F(x,y,z), é um vetor perpendicular (normal) à superfície em cada ponto em que as derivadas existem. O plano tangente em um ponto P=(x_0,y_0,z_0) é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é ortogonal ao vetor normal \nabla F(x_0,y_0,z_0). Isso se escreve pela condição de produto escalar
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Uma breve explicação do gradiente e das derivadas parciais:
  • Se \displaystyle F(x,y,z) é diferenciável, então
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
  • A parcial \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} significa: derivar F em relação a x tratando y e z como constantes, e similar para as outras.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: coloque
F(x,y,z)=e^{x}+y^{2}+z^{2}-4,
assim a superfície é F(x,y,z)=0. Agora calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=e^{x},\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Cada uma foi obtida derivando a função componente por componente:
  • \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
  • \frac{d}{dy}y^{2}=2y,
  • \frac{d}{dz}z^{2}=2z.

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto P(0,1,1):
\nabla F(0,1,1)=\big(e^{0},\,2\cdot1,\,2\cdot1\big)=(1,2,2).
Esse vetor (1,2,2) é normal à superfície em P e, portanto, é normal ao plano tangente que buscamos.

Passo 5

Formule a equação do plano tangente usando o produto escalar:
\nabla F(0,1,1)\cdot (x-0,y-1,z-1)=0.
Substituindo \nabla F(0,1,1)=(1,2,2) obtemos
1\cdot(x-0)+2\cdot(y-1)+2\cdot(z-1)=0.
Agora simplifique a expressão:
x+2(y-1)+2(z-1)=0
x+2y-2+2z-2=0
x+2y+2z-4=0.
Isto é o plano tangente em forma explícita.

Passo 6

Construa a reta normal. A reta normal passa por P e tem direção dada pelo vetor normal (1,2,2). A forma parametrizada da reta é
(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,2,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Se quiser escrever em equações paramétricas:
x=t,\qquad y=1+2t,\qquad z=1+2t.

Resposta

\text{Plano: }x+2y+2z-4=0
\text{Reta normal: }(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,2,2),\; t\in\mathbb{R}

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