Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado fornece a superfície definida implicitamente por
e o ponto
sobre essa superfície. Ele pede duas coisas:
- o plano tangente à superfície em
; - a reta normal à superfície que passa por
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do conceito usado):
Quando uma superfície é dada implicitamente por uma função
Quando uma superfície é dada implicitamente por uma função
o vetor gradiente de
, que escrevemos
, é um vetor perpendicular (normal) à superfície em cada ponto em que as derivadas existem. O plano tangente em um ponto
é o conjunto de pontos
tais que o vetor
é ortogonal ao vetor normal
. Isso se escreve pela condição de produto escalar
Uma breve explicação do gradiente e das derivadas parciais:
- Se
é diferenciável, então
- A parcial
significa: derivar em relação a tratando e como constantes, e similar para as outras.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: coloque
assim a superfície é
. Agora calcule as derivadas parciais:
Cada uma foi obtida derivando a função componente por componente:
-
, -
, -
.
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal à superfície em
e, portanto, é normal ao plano tangente que buscamos.
Passo 5
Formule a equação do plano tangente usando o produto escalar:
Substituindo
obtemos
Agora simplifique a expressão:
Isto é o plano tangente em forma explícita.
Passo 6
Construa a reta normal. A reta normal passa por
e tem direção dada pelo vetor normal
. A forma parametrizada da reta é
Se quiser escrever em equações paramétricas: