Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
sigma(u, v)=(2 u+v, u ? v, 3 u+2 v), no ponto sigma(0,0);

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da superfície
sigma(u,v) = (,2u+v,;u v,;3u+2v)
e pede o plano tangente no ponto sigma(0,0).
Para isso vamos usar que o plano tangente é gerado pelos vetores sigmau e sigmav avaliados em (0,0), aplicados ao ponto base sigma(0,0).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
sigmau(u,v) = l(2,;v,;3r)
sigmav(u,v) = l(1,;u,;2r)

Passo 3

Avalie em (u,v)=(0,0):
sigma(0,0) = (0,0,0)
sigmau(0,0) = (2,0,3)
sigmav(0,0) = (1,0,2)

Passo 4

O plano tangente em forma paramétrica é
(x,y,z) = (0,0,0) +s,(2,0,3) +t,(1,0,2),
ou seja
x = 2s + t, y = 0, z = 3s + 2t

Passo 5

Como em todos os pontos do plano tangente a coordenada y vale zero, a equação implícita desse plano é
y = 0

Resposta

O plano tangente à superfície em sigma(0,0) é
y = 0

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