Mostre que integral1^infty 3+sen xx d x é divergente

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral1^infty3+sin xx,dx
é divergente. O conteúdo aqui são integrais impróprias no infinito e teste de comparação. Vamos usar o fato de que sin x é limitado e comparar com a integral de 1x, que já sabemos diverge.

Passo 2

Como sin x>= -1 para todo x, temos
3+sin x ;>=; 3-1 ;=;2
Dividindo por x>0,
3+sin xx;>=;2x

Passo 3

Aplicando o teste de comparação para integrais impróprias: se
integral1^infty2x,dx
diverge, então
integral1^infty3+sin xx,dx
também diverge. De fato,
integral1^infty2x,dx =2integral1^infty1x,dx =2l[ln xr]1^infty =2cdotinfty =infty

Passo 4

Como a integral de tfrac2x diverge e
tfrac3+sin xx>=tfrac2x em [1,infty), concluímos pela comparação que
integral1^infty3+sin xx,dx=infty,
ou seja, a integral é divergente.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados