Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas x=u^2, y=v^2 e z=u+2 v no ponto (1,1,3).

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica
x = u^2, y = v^2, z = u + 2v
e pede o plano tangente no ponto (1,1,3). Para resolver, vamos:
– identificar os valores de (u,v) que geram esse ponto,
– calcular os vetores ru e rv,
– obter o vetor normal pelo produto vetorial rutimesrv,
– montar a equação do plano usando esse normal e o ponto dado.

Passo 2

Procuramos (u,v) tais que
u^2 = 1, v^2 = 1, u + 2v = 3
As duas primeiras dão u=pm1 e v=pm1. Testando na terceira, apenas u=1 e v=1 satisfazem 1 + 2cdot1 = 3. Logo, o ponto corresponde a (u,v)=(1,1).

Passo 3

Definimos o vetor posição
r(u,v) = l(u^2,;v^2,;u+2vr)
As derivadas parciais são
ru = l(2u,;0,;1r), rv = l(0,;2v,;2r)
Em (u,v)=(1,1) temos
ru(1,1) = (2,0,1), rv(1,1) = (0,2,2)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
n = ru(1,1)timesrv(1,1) = det i & j & k 2 & 0 & 1 0 & 2 & 2 = (-2,,-4,,4)
Uma forma mais simples é usar o múltiplo (1,2,-2) como normal equivalente.

Passo 5

A equação do plano com normal n=(1,2,-2) passando por (1,1,3) é
1,(x-1) + 2,(y-1) -2,(z-3) = 0
Desenvolvendo, obtemos
x + 2y - 2z + 3 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
x + 2y - 2z + 3 = 0

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