Esboçar o gráfico das funções, indicando o domínio e a imagem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa esboçar o gráfico da função
, indicando o domínio e a imagem dela. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como a função exponencial se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função
é uma função exponencial básica, e as funções exponenciais estão definidas para todo número real. Então, o domínio dessa função é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. Sabemos que a função
nunca será zero e sempre será positiva, já que o número
elevado a qualquer potência real resulta em um número positivo. Além disso, conforme
aumenta,
diminui, aproximando-se de zero, mas nunca chega a zero.
Passo 4
Vamos analisar alguns pontos importantes para desenhar o gráfico. Quando
, temos
. Quando
tende a
,
tende a 0. E quando
tende a
,
cresce sem limites, tendendo a
. Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta.
Passo 5
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico. O eixo vertical representa
e o horizontal representa
. A curva começa em
, diminui suavemente à medida que
aumenta, aproximando-se do eixo
mas sem nunca tocá-lo. Para valores negativos de
, a função cresce rapidamente.
Resposta
O gráfico da função
tem domínio em todos os números reais (
) e imagem em todos os números positivos (
). A curva passa pelo ponto
, decresce exponencialmente à medida que
aumenta, aproximando-se do eixo
, e cresce sem limites quando
é negativo.