Esboçar o gráfico das funções, indicando o domínio e a imagem.
f(x)=2^3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que desenhar o gráfico da função f(x) = 2^3x . Isso está no ramo das funções exponenciais, que são importantes em muitas áreas como crescimento populacional, finanças e física. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam, descobrir o domínio (todos os possíveis valores de x ) e a imagem (todos os possíveis valores de f(x) ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para funções exponenciais como f(x) = 2^3x , não há restrições especiais – podemos colocar qualquer número real no lugar de x .
Então, o domínio é:
Domínio: R í
Isso significa que qualquer número real vale para x .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a imagem (ou intervalo) da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que f(x) pode assumir. Sabemos que funções exponenciais com base positiva diferentes de 1, como 2^3x , nunca serão zero ou negativas, e elas crescem sem limite conforme x aumenta.
Portanto, a imagem é:
Ima>=m: (0, +infty)
Ou seja, f(x) pode ser qualquer número real positivo.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos importantes para desenhar o gráfico. Vamos calcular f(x) para alguns valores de x :
  • Quando x = 0 :
f(0) = 2^0 = 1
  • Quando x = 1 :
f(1) = 2^3 times 1 = 2^3 = 8
  • Quando x = -1 :
f(-1) = 2^3 times (-1) = 2^-3 = 18
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função se comporta.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Crescimento: Como a base 2^3 = 8 é maior que 1, a função cresce rapidamente à medida que x aumenta.
  • Assíntota: A função nunca toca o eixo y , mas se aproxima cada vez mais de 0 à medida que x diminui. Isso cria uma linha imaginária (assíntota) ao longo de y = 0 .

Passo 6

Com base nos pontos calculados e no comportamento geral, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plote os pontos (0,1) , (1,8) e (-1,18) .
  2. Desenhe uma curva que passa por esses pontos, crescente para a direita e se aproximando de y = 0 à esquerda.
  3. Indique a assíntota em y = 0 .

Resposta

O gráfico da função f(x) = 2^3x é uma curva exponencial crescente que passa pelos pontos (0,1) , (1,8) e (-1,18) , com domínio R e imagem (0, +infty) . A curva se aproxima do eixo y = 0 à medida que x diminui, mas nunca o toca.

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