Esboçar o gráfico das funções, indicando o domínio e a imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que desenhar o gráfico da função
. Isso está no ramo das funções exponenciais, que são importantes em muitas áreas como crescimento populacional, finanças e física. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam, descobrir o domínio (todos os possíveis valores de
) e a imagem (todos os possíveis valores de
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções exponenciais como
, não há restrições especiais – podemos colocar qualquer número real no lugar de
.
Então, o domínio é:
Isso significa que qualquer número real vale para
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a imagem (ou intervalo) da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que funções exponenciais com base positiva diferentes de 1, como
, nunca serão zero ou negativas, e elas crescem sem limite conforme
aumenta.
Portanto, a imagem é:
Ou seja,
pode ser qualquer número real positivo.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos importantes para desenhar o gráfico. Vamos calcular
para alguns valores de
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função se comporta.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
-
Crescimento: Como a base
é maior que 1, a função cresce rapidamente à medida que aumenta. -
Assíntota: A função nunca toca o eixo
, mas se aproxima cada vez mais de 0 à medida que diminui. Isso cria uma linha imaginária (assíntota) ao longo de .
Passo 6
Com base nos pontos calculados e no comportamento geral, podemos esboçar o gráfico:
- Plote os pontos
, e . - Desenhe uma curva que passa por esses pontos, crescente para a direita e se aproximando de
à esquerda. - Indique a assíntota em
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva exponencial crescente que passa pelos pontos
,
e
, com domínio
e imagem
. A curva se aproxima do eixo
à medida que
diminui, mas nunca o toca.