Uma função diferenciável f tem, no ponto ( 1,1 ), derivada direcional igual a 5 na direção i-2 j e igual a -2 na direção 2 i+j. Calcule:
(1, 0) nabla f(1,1).

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em (1,1) e que as derivadas direcionais são
Dvec u1f(1,1)=5na direção vec u1=vec i-2vec j, çã
Dvec u2f(1,1)=-2na direção vec u2=2vec i+vec j çã
Queremos calcular
(1,0)cdotnabla f(1,1),
isto é, a componente x do gradiente nabla f(1,1). Vamos usar a fórmula
Dvec uf(1,1)=nabla f(1,1)cdotvec u|vec u|

Passo 2

Definimos os vetores unitários
vec e1=1raiz1^2+(-2)^2,(1,-2)=1raiz5(1,-2),
vec e2=1raiz2^2+1^2,(2,1)=1raiz5(2,1)
Se escrevemos nabla f(1,1)=(a,b), então
nabla f(1,1)cdotvec e1=5,
nabla f(1,1)cdotvec e2=-2

Passo 3

Escrevendo cada produto escalar e multiplicando ambos os lados por raiz5, obtemos o sistema linear
a-2b=5raiz5, 2a+b=-2raiz5

Passo 4

Da primeira equação vem a=5raiz5+2b. Substituindo na segunda:
2l(5raiz5+2br)+b=-2raiz5 ;Longrightarrow; 10raiz5+5b=-2raiz5 ;Longrightarrow; 5b=-12raiz5 ;Longrightarrow; b=-12raiz55
Então
a=5raiz5+2l(-12raiz55r) =25raiz5-24raiz55 =raiz55

Passo 5

Finalmente,
(1,0)cdotnabla f(1,1)=a=raiz55=1raiz5

Resposta

1raiz5

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