Determine o plano tangente à superfície z=x^2+y^2 no ponto (1,1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z = x^2 + y^2
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,2). Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter a inclinação nas direções x e y e aplicar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 2y
No ponto (x0,y0)=(1,1) isso dá
partial zpartial x|(1,1) = 2, partial zpartial y|(1,1) = 2

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=1, y0=1, z0=2, fx(1,1)=2 e fy(1,1)=2, obtemos
z - 2 = 2,(x - 1) + 2,(y - 1)

Passo 4

Basta expandir e simplificar:
z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2 Longrightarrow z = 2x + 2y - 2

Resposta

z = 2x + 2y - 2

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