Determine o plano tangente à superfície no ponto .
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter a inclinação nas direções e e aplicar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto isso dá
Passo 3
A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=1, y0=1, z0=2, fx(1,1)=2 e fy(1,1)=2, obtemos
z - 2 = 2,(x - 1) + 2,(y - 1)
Passo 4
Basta expandir e simplificar:
z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2 Longrightarrow z = 2x + 2y - 2