Encontre o domínio ou região de definição das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir para quais valores de
e
essa função está definida. Para isso, vamos lembrar que a raiz quadrada só existe quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, vamos precisar analisar quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o produto de
e
deve ser positivo ou igual a zero. Vamos dividir isso em dois casos:
- Ambos
e são positivos. - Ambos
e são negativos.
Passo 3
Vamos analisar o primeiro caso:
e
.
Sabemos que a função seno (
) é positiva quando
está nos quadrantes onde o seno é positivo. Especificamente,
quando
está no intervalo
. Então, para
e
,
deve estar entre
e
, e
deve ser maior que zero.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o segundo caso:
e
.
A função seno é negativa nos intervalos
. Assim, para que
com
,
deve estar entre
e
, e
deve ser menor que zero.
Passo 5
Além desses casos, precisamos considerar o ponto em que
. Isso acontece quando:
-
(independente de ), - ou
, que ocorre quando
Então, esses pontos também fazem parte do domínio.
Passo 6
Juntando tudo, o domínio da função é composto por todos os pares
que satisfazem:
-
e , -
e , -
para qualquer , -
para qualquer .
Resposta
O domínio da função
é dado por todos os valores de
e
que satisfazem: