Encontre o domínio ou região de definição das seguintes funções:
z=raizy cdot sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função z = raizy cdot sin(x) . Isso significa descobrir para quais valores de x e y essa função está definida. Para isso, vamos lembrar que a raiz quadrada só existe quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, vamos precisar analisar quando y cdot sin(x) >= 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa y cdot sin(x) >= 0 . Isso quer dizer que o produto de y e sin(x) deve ser positivo ou igual a zero. Vamos dividir isso em dois casos:
  1. Ambos y e sin(x) são positivos.
  2. Ambos y e sin(x) são negativos.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro caso: y > 0 e sin(x) > 0 .
Sabemos que a função seno ( sin(x) ) é positiva quando x está nos quadrantes onde o seno é positivo. Especificamente, sin(x) > 0 quando x está no intervalo (0, pi) . Então, para y > 0 e sin(x) > 0 , x deve estar entre 0 e pi , e y deve ser maior que zero.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o segundo caso: y < 0 e sin(x) < 0 .
A função seno é negativa nos intervalos (pi, 2pi) . Assim, para que y cdot sin(x) >= 0 com y < 0 , x deve estar entre pi e 2pi , e y deve ser menor que zero.

Passo 5

Além desses casos, precisamos considerar o ponto em que y cdot sin(x) = 0 . Isso acontece quando:
  • y = 0 (independente de x ),
  • ou sin(x) = 0 , que ocorre quando x = 0, pi, 2pi, dots
Então, esses pontos também fazem parte do domínio.

Passo 6

Juntando tudo, o domínio da função é composto por todos os pares (x, y) que satisfazem:
  • 0 < x < pi e y > 0 ,
  • pi < x < 2pi e y < 0 ,
  • y = 0 para qualquer x ,
  • sin(x) = 0 para qualquer y .

Resposta

O domínio da função z = raizy cdot sin(x) é dado por todos os valores de x e y que satisfazem:
0 < x < pi e y > 0, pi < x < 2pi e y < 0, y = 0 para qualquer x, sin(x) = 0 para qualquer y

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