Determine o plano tangente à superfície z=raizx^2+y^2 no ponto (1,1, raiz2).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = raizx^2 + y^2
no ponto (1,1,raiz2). Como essa superfície é o gráfico de z=f(x,y), com f(x,y)=raizx^2+y^2, vamos usar a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=raizx^2+y^2
Derivando, obtemos
fx(x,y) = xraizx^2+y^2, fy(x,y) = yraizx^2+y^2

Passo 3

Avaliar em (x0,y0)=(1,1). Como raiz1^2+1^2=raiz2, temos
fx(1,1) = 1raiz2, fy(1,1) = 1raiz2
Substituindo na fórmula do plano tangente com z0=raiz2, vem
z - raiz2 = 1raiz2,(x - 1) + 1raiz2,(y - 1)

Passo 4

Simplificando a equação acima:
z - raiz2 = x+y-2raiz2 Longrightarrow z = x+yraiz2
Em forma implícita, multiplica-se por raiz2:
x + y - raiz2,z = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
z - raiz2 = 1raiz2,(x - 1) + 1raiz2,(y - 1),
que se simplifica para
z = x+yraiz2

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