(a) Mostre que os planos x-y=0 e y-z=1 se interceptam segundo uma reta r.
(b) Ache a equação do plano que passa pelo ponto A=(1,0,-1) e é perpendicular à reta r.

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que os planos x - y = 0 e y - z = 1 se interceptam em uma reta r e (b) achar a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e é perpendicular a essa reta. O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos resolver um sistema linear para obter a reta de interseção e depois usar a direção dessa reta como normal do plano perpendicular.

Passo 2

Para achar a reta de interseção, resolvemos simultaneamente
\begin{cases} x - y = 0,\\\ y - z = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem x=y. Da segunda, z=y-1. Tomando y=t ( t\in\mathbb R), obtemos
x=t,\quad y=t,\quad z=t-1.

Passo 3

A forma paramétrica de r é
r:\;(x,y,z) = (t,\,t,\,t-1),\quad t\in\mathbb R,
o que mostra que r é uma reta de vetor diretor \vec v=(1,1,1).

Passo 4

Para o item (b), o plano procurado passa por A=(1,0,-1) e é perpendicular a r. Logo, seu vetor normal pode ser \vec n=(1,1,1). A equação geral de um plano com normal (a,b,c) em um ponto (x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=b=c=1 e (x_0,y_0,z_0)=(1,0,-1), temos
(x-1)+(y-0)+(z+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=0.

Resposta

(a) \displaystyle r:\,(x,y,z)=(t,\,t,\,t-1),\\ t\in\mathbb R.
(b) \displaystyle x+y+z=0.

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