(a) Mostre que os planos
e
se interceptam segundo uma reta
.
(b) Ache a equação do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
(b) Ache a equação do plano que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que os planos
e
se interceptam em uma reta
e (b) achar a equação do plano que passa por
e é perpendicular a essa reta. O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos resolver um sistema linear para obter a reta de interseção e depois usar a direção dessa reta como normal do plano perpendicular.
Passo 2
Para achar a reta de interseção, resolvemos simultaneamente
Da primeira equação vem
. Da segunda,
. Tomando
(
), obtemos
Passo 3
A forma paramétrica de
é
o que mostra que
é uma reta de vetor diretor
.
Passo 4
Para o item (b), o plano procurado passa por
e é perpendicular a
. Logo, seu vetor normal pode ser
. A equação geral de um plano com normal
em um ponto
é
Substituindo
e
, temos
Resposta
(a)
(b)
(b)