Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y)=(x, y, x+y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y) = (x,y,x+y)
e pede a base e a dimensão de \operatorname{Im}T e de \ker T, além de verificar se T é injetiva e sobrejetiva. O conteúdo envolve imagem, núcleo e critérios de injetividade/sobrejetividade.

Passo 2

Para encontrar \operatorname{Im}T, note que
T(x,y) = x\,(1,0,1) \;+\; y\,(0,1,1).
Logo
\operatorname{Im}T = \mathrm{span}\{(1,0,1),\,(0,1,1)\}.
Esses vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, portanto formam uma base de \operatorname{Im}T e
\dim(\operatorname{Im}T)=2.

Passo 3

Para determinar \ker T, resolva
T(x,y) = (0,0,0),
isto é,
x = 0,\quad y = 0,
já que a terceira coordenada x+y=0 é redundante quando x=y=0. Assim
\ker T = \{(0,0)\},
que é o subespaço trivial, e
\dim(\ker T)=0.

Passo 4

Uma transformação linear é injetiva se e somente se \ker T é apenas o vetor zero. Aqui \ker T=\{(0,0)\}, logo T é injetiva. Para ser sobrejetiva, precisaríamos de \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3, mas \dim(\operatorname{Im}T)=2<3, então T não é sobrejetiva.

Resposta

Base de \operatorname{Im}T: \{(1,0,1),\,(0,1,1)\}
\dim(\operatorname{Im}T)=2
\ker T=\{(0,0)\}, dimensão 0
T é injetiva e não é sobrejetiva.

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