Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação
e verifique se
é injetiva e sobrejetiva:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede a base e a dimensão de
e de
, além de verificar se
é injetiva e sobrejetiva. O conteúdo envolve imagem, núcleo e critérios de injetividade/sobrejetividade.
Passo 2
Para encontrar
, note que
Logo
Esses vetores são linearmente independentes em
, portanto formam uma base de
e
Passo 3
Para determinar
, resolva
isto é,
já que a terceira coordenada
é redundante quando
. Assim
que é o subespaço trivial, e
Passo 4
Uma transformação linear é injetiva se e somente se
é apenas o vetor zero. Aqui
, logo
é injetiva. Para ser sobrejetiva, precisaríamos de
, mas
, então
não é sobrejetiva.
Resposta
Base de
:
, dimensão
é injetiva e não é sobrejetiva.