Determine se os planos são coincidentes:
Plano1: x+2 y-3 z=5, Plano2: 2 x+4 y-6 z=10

Passo 1

O enunciado dá dois planos no espaço tridimensional:
Plano1: x + 2y - 3z = 5,
Plano2: 2x + 4y - 6z = 10
O conteúdo é geometria analítica de planos e vamos precisar comparar os vetores normais e as constantes para decidir se eles coincidem.

Passo 2

Para cada plano, extraímos o vetor normal, que é dado pelos coeficientes de x,y,z. Assim,
n1 = (1,,2,,-3),
n2 = (2,,4,,-6)
Observamos que n2 = 2,n1, ou seja, os planos são paralelos (ou coincidentes) pois têm vetores normais colineares.

Passo 3

Para decidir se são coincidentes (mesmo plano) ou apenas paralelos distintos, verificamos se a equação do segundo plano é um múltiplo escalar da do primeiro em todos os termos, inclusive na constante. Multiplicando toda a equação de Plano1 por 2 obtemos
2(x + 2y - 3z) = 2cdot 5 Longrightarrow 2x + 4y - 6z = 10,
que coincide exatamente com a equação de Plano2.

Passo 4

Como todos os coeficientes e a constante de Plano2 são exatamente o dobro dos de Plano1, concluímos que não se trata apenas de planos paralelos distintos, mas do mesmo plano escrito de forma escalada.

Resposta

Os planos são coincidentes.

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