Determine se os planos são paralelos:
Plano1: 2 x-3 y+z=4, Plano2: 4 x-6 y+2 z=8

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os planos
P1: 2x - 3y + z = 4
e
P2: 4x - 6y + 2z = 8
são paralelos. Isso pertence à Geometria Analítica em R^3, e para decidir paralelismo de planos usamos o vetor normal de cada um.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano. Se um plano é dado por ax + by + cz = d, então seu normal é n = (a,b,c).
Para P1 temos
n1 = (2,,-3,,1),
e para P2
n2 = (4,,-6,,2)

Passo 3

Dois planos são paralelos se e somente se seus normais são múltiplos entre si. Note que
n2 = 2,(2,,-3,,1) = 2,n1
Como existe esse escalar 2 tal que n2 = 2,n1, concluímos que P1 e P2 são paralelos.

Passo 4

Para saber se, além de paralelos, eles coincidem (ou seja, são o mesmo plano), basta verificar se o termo independente também se escala pelo mesmo fator. Multiplicando a equação de P1 por 2 obtemos
2,(2x - 3y + z) = 2cdot 4 Longrightarrow 4x - 6y + 2z = 8,
que é exatamente a equação de P2. Logo, não só são paralelos, mas coincidem.

Resposta

Sim. Os planos são paralelos e, na verdade, coincidem, pois n2 = 2,n1 e o termo independente segue a mesma proporção.

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