Encontre a linha de interseção entre dois planos:
Plano1: x-y+z=1, Plano2: 2 x+y-3 z=4

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção de dois planos dados por
x - y + z = 1 e
2x + y - 3z = 4.
Para isso, vamos precisar de duas coisas:
  1. um vetor diretor da reta, que é perpendicular aos vetores normais de ambos os planos;
  2. um ponto qualquer que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos:
o normal do primeiro plano é
n1 = (1,,-1,,1),
e o normal do segundo plano é
n2 = (2,,1,,-3)

Passo 3

O vetor diretor d da reta de interseção é dado pelo produto vetorial
d = n1 times n2
Calculando componente a componente,
d = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 1 & -3 = i,( (-1)(-3) - 1cdot1 ) - j,( 1cdot(-3) - 1cdot2 ) + k,( 1cdot1 - (-1)cdot2 ) = (2,,5,,3)

Passo 4

Para achar um ponto
da primeira equação vem obtemos o ponto

Passo 5

Reescrevendo em forma paramétrica com parâmetro s, usamos o ponto P e o vetor diretor d:
(x,y,z) = l(tfrac53,,tfrac23,,0r) + s,(2,,5,,3)

Resposta

A reta de interseção pode ser dada por
x = tfrac53 + 2s, y = tfrac23 + 5s, z = 3s
Ou, de forma simétrica,
x - tfrac532 =y - tfrac235 =z3

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