Sejam n um número natural positivo, v1, ldots, vn vetores distintos e alphai, betai números reais, para i=1, ldots, n. Mostre que se v1, ldots, vn é LI, então a igualdade:
alpha1 cdot v1+alpha2 cdot v2+ldots+alphan cdot vn=beta1 cdot v1+beta2 cdot v2+ldots+betan cdot vn
vale se, e somente se, alphai=betai, para todo i=1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado fala de n vetores distintos v1,dots,vn que formam um conjunto linearmente independente, e de duas coleções de escalares alphai e betai. Queremos mostrar que
alpha1v1+cdots+alphanvn = beta1v1+cdots+betanvn
se, e somente se, alphai=betai para todo i. Para isso usaremos a definição de independência linear: uma combinação linear nula de vetores LI impõe que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Suponha que
alpha1v1+cdots+alphanvn = beta1v1+cdots+betanvn
Subtraindo o segundo membro do primeiro, obtemos
sumi=1^n(alphai-betai),vi =0

Passo 3

Como v1,dots,vn é LI, a única maneira dessa combinação dar o vetor nulo é ter todos os coeficientes nulos. Logo, para cada i,
alphai-betai=0 Longrightarrow alphai=betai

Passo 4

Reciprocamente, se alphai=betai para todo i, basta substituir e as duas somas coincidem trivialmente:
alpha1v1+cdots+alphanvn = beta1v1+cdots+betanvn

Resposta

A igualdade
alpha1v1+cdots+alphanvn = beta1v1+cdots+betanvn
vale se, e somente se, alphai=betai para todo i=1,dots,n.

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