Exercício 4. Sendo A B C D E F um hexágono regular de centro O, prove que:
A B+A C+A D+A E+A F=6 A O

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, num hexágono regular com centro em O e vértices A, B, C, D, E, F , a soma dos vetores AB + AC + AD + AE + AF é igual a 6 AO .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, especialmente como somar vetores em um polígono regular e usar as propriedades de simetria desse hexágono.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados são iguais e todos os ângulos internos são iguais. Além disso, como o hexágono é regular, o centro O está igualmente distante de todos os vértices A, B, C, D, E, F .
Também vamos precisar entender que o vetor AB representa uma seta que vai de A para B , e assim por diante para os outros vetores.

Passo 3

Vamos começar decompondo os vetores AB, AC, AD, AE, AF em relação ao ponto A e ao centro O .
Sabemos que:
AB = B - A
E de maneira similar:
AC = C - A
AD = D - A
AE = E - A
AF = F - A

Passo 4

Agora, somando todos esses vetores:
AB + AC + AD + AE + AF = (B - A) + (C - A) + (D - A) + (E - A) + (F - A)
Vamos simplificar essa expressão:
= B + C + D + E + F - 5A

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a soma B + C + D + E + F com o centro O do hexágono.
Como O é o centro do hexágono regular, podemos dizer que:
A + B + C + D + E + F = 6O
Isso porque a soma dos vetores de todos os vértices em relação ao centro é seis vezes o vetor posição do centro.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar a soma dos vetores B + C + D + E + F :
B + C + D + E + F = 6O - A

Passo 7

Substituindo essa expressão de volta na soma original dos vetores:
AB + AC + AD + AE + AF = (6O - A) - 5A
Simplificando:
= 6O - 6A
= 6(O - A)
= 6AO

Resposta

Portanto, demonstramos que:
AB + AC + AD + AE + AF = 6 AO

Exercícios relacionados