Exercício 4. Sendo um hexágono regular de centro , prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, num hexágono regular com centro em O e vértices A, B, C, D, E, F , a soma dos vetores AB + AC + AD + AE + AF é igual a 6 AO .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, especialmente como somar vetores em um polígono regular e usar as propriedades de simetria desse hexágono.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados são iguais e todos os ângulos internos são iguais. Além disso, como o hexágono é regular, o centro O está igualmente distante de todos os vértices A, B, C, D, E, F .
Também vamos precisar entender que o vetor AB representa uma seta que vai de A para B , e assim por diante para os outros vetores.
Passo 3
Vamos começar decompondo os vetores AB, AC, AD, AE, AF em relação ao ponto A e ao centro O .
Sabemos que:
AB = B - A
E de maneira similar:
AC = C - A
AD = D - A
AE = E - A
AF = F - A
Passo 4
Agora, somando todos esses vetores:
AB + AC + AD + AE + AF = (B - A) + (C - A) + (D - A) + (E - A) + (F - A)
Vamos simplificar essa expressão:
= B + C + D + E + F - 5A
Passo 5
Agora, precisamos relacionar a soma B + C + D + E + F com o centro O do hexágono.
Como O é o centro do hexágono regular, podemos dizer que:
A + B + C + D + E + F = 6O
Isso porque a soma dos vetores de todos os vértices em relação ao centro é seis vezes o vetor posição do centro.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar a soma dos vetores B + C + D + E + F :
B + C + D + E + F = 6O - A
Passo 7
Substituindo essa expressão de volta na soma original dos vetores: