Determine points where the following functions are not analytic. If the singularities are isolated, determine their character (if a pole, state the order) and calculate the
4) residues:
4) residues:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos onde a função
não é analítica; para as singularidades isoladas, determinar a sua natureza (se pólo, a ordem do pólo) e calcular as respectivas resíduos.
Informações dadas:
Os zeros do denominador são os candidatos a singularidades: as raízes de
e de
. A partir daqui vamos classificar e calcular resíduos.
Passo 2
Encontrar as raízes de
.
Escrevemos
. As raízes são
Calculando explicitamente:
Logo as raízes de
são
.
Também há a raiz dupla
vinda de
.
Portanto os pontos onde
pode não ser analítica são
Passo 3
Verificar cancelamentos com o numerador (para saber se algum desses pontos deixa de ser singularidade).
O numerador
tem zeros em
e
. Esses valores não coincidem com nenhum dos pontos listados em Passo 2. Portanto não há cancelamento: todos os pontos listados são de fato singularidades da função.
Como o denominador é um polinómio com zeros isolados e o numerador não cancela nenhum, todas as singularidades são isoladas. Agora vamos identificar a natureza (ordem dos pólos) e calcular resíduos.
Passo 4
Classificação das singularidades por ordem:
-
Em
o fator dá um pólo de ordem (pólo duplo), porque o numerador não zera em (verificamos ). -
Em cada raiz simples de
, isto é em , o fator possui zero de multiplicidade . Como o numerador não zera nesses pontos, cada um desses é um pólo simples.
Nos próximos passos calculamos os resíduos: para pólo simples usamos a fórmula da razão; para pólo de ordem
usamos a fórmula envolvendo derivada.
Passo 5
Fórmulas que vamos usar (explicando didaticamente):
- Se
é um pólo simples de , então localmente com analítica em . A fórmula prática é
No caso de
e se
é raiz simples de
, podemos escrever
Aqui usamos que
.
- Se
é pólo de ordem (aqui ), a fórmula geral é
Para
temos
No nosso caso, para
definimos
e então
.
Vou aplicar estas fórmulas passo a passo.
Passo 6
Cálculo das resíduos nos pólos simples
.
Dados gerais:
e
. Assim
- Para
:
-
. -
então . -
: calculamos , ; então .
Denominador:
.
Logo
- Para
:
-
(mesmo cálculo com conjugado). -
, . -
(cálculo direto como conjugado do caso anterior).
Denominador:
.
Logo
- Para
:
- Calculamos
. Então
-
, então . -
: com temos , então .
Denominador:
.
Logo
- Para
:
-
. Então
-
, . -
e .
Denominador:
.
Logo
Observação: os pares conjugados produzem resíduos conjugados conforme esperado.
Passo 7
Cálculo do resíduo no pólo duplo
.
Definimos
Então
Calculamos
por quociente: se
com
, então
onde
e
.
Avaliação em
:
Substituindo:
Portanto
Resposta
Pontos de não analiticidade:
.\n
: pólo de ordem
(resíduo
).\n
: pólo simples (resíduo
).\n
: pólo simples (resíduo
).\n
: pólo simples (resíduo
).\n
: pólo simples (resíduo
).