Determine points where the following functions are not analytic. If the singularities are isolated, determine their character (if a pole, state the order) and calculate the
4) residues:
f(z)=\frac{z^{2}-2 z}{(z+1)^{2}\left(z^{4}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos onde a função
f(z)=\frac{z^{2}-2 z}{(z+1)^{2}\left(z^{4}+4\right)}
não é analítica; para as singularidades isoladas, determinar a sua natureza (se pólo, a ordem do pólo) e calcular as respectivas resíduos.
Informações dadas:
\text{numerador }N(z)=z^{2}-2z, \qquad \text{denominador }D(z)=(z+1)^{2}\big(z^{4}+4\big).
Os zeros do denominador são os candidatos a singularidades: as raízes de (z+1)^{2}=0 e de z^{4}+4=0. A partir daqui vamos classificar e calcular resíduos.

Passo 2

Encontrar as raízes de z^{4}+4=0.
Escrevemos z^{4}=-4=4e^{i\pi}. As raízes são
z=\sqrt[4]{4}\,e^{i(\pi+2k\pi)/4}=\sqrt{2}\,e^{i(\pi/4+k\pi/2)},\quad k=0,1,2,3.
Calculando explicitamente:
\sqrt{2}e^{i\pi/4}=1+i,\qquad \sqrt{2}e^{i3\pi/4}=-1+i,
\sqrt{2}e^{i5\pi/4}=-1-i,\qquad \sqrt{2}e^{i7\pi/4}=1-i.
Logo as raízes de z^{4}+4 são 1+i,\,-1+i,\,-1-i,\,1-i.
Também há a raiz dupla z=-1 vinda de (z+1)^{2}.
Portanto os pontos onde f pode não ser analítica são
z=-1,\quad z=1+i,\quad z=-1+i,\quad z=-1-i,\quad z=1-i.

Passo 3

Verificar cancelamentos com o numerador (para saber se algum desses pontos deixa de ser singularidade).
O numerador N(z)=z^{2}-2z=z(z-2) tem zeros em z=0 e z=2. Esses valores não coincidem com nenhum dos pontos listados em Passo 2. Portanto não há cancelamento: todos os pontos listados são de fato singularidades da função.
Como o denominador é um polinómio com zeros isolados e o numerador não cancela nenhum, todas as singularidades são isoladas. Agora vamos identificar a natureza (ordem dos pólos) e calcular resíduos.

Passo 4

Classificação das singularidades por ordem:
  • Em z=-1 o fator (z+1)^{2} dá um pólo de ordem 2 (pólo duplo), porque o numerador não zera em z=-1 (verificamos N(-1)=(-1)^{2}-2(-1)=1+2=3\neq0).
  • Em cada raiz simples de z^{4}+4, isto é em z_0\in\{1+i,\,-1+i,\,-1-i,\;1-i\}, o fator z^{4}+4 possui zero de multiplicidade 1. Como o numerador não zera nesses pontos, cada um desses z_0 é um pólo simples.
Nos próximos passos calculamos os resíduos: para pólo simples usamos a fórmula da razão; para pólo de ordem 2 usamos a fórmula envolvendo derivada.

Passo 5

Fórmulas que vamos usar (explicando didaticamente):
  • Se z_0 é um pólo simples de f, então localmente f(z)=\dfrac{\varphi(z)}{z-z_0} com \varphi analítica em z_0. A fórmula prática é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
No caso de f(z)=\dfrac{N(z)}{(z+1)^{2}(z^{4}+4)} e se z_0 é raiz simples de z^{4}+4, podemos escrever
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{N(z_0)}{(z_0+1)^{2}\, (z^{4}+4)'|_{z=z_0}} =\frac{N(z_0)}{(z_0+1)^{2}\cdot 4z_0^{3}}.
Aqui usamos que (z^{4}+4)'=4z^{3}.
  • Se z_0 é pólo de ordem m (aqui m=2), a fórmula geral é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_0)^{m}f(z)\big].
Para m=2 temos
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\big[(z-z_0)^{2}f(z)\big].
No nosso caso, para z_0=-1 definimos
h(z):=(z+1)^{2}f(z)=\frac{z^{2}-2z}{z^{4}+4},
e então \operatorname{Res}(f,-1)=h'(-1).
Vou aplicar estas fórmulas passo a passo.

Passo 6

Cálculo das resíduos nos pólos simples z_0\in\{1+i,\,-1+i,\,-1-i,\;1-i\}.
Dados gerais: N(z)=z^{2}-2z e (z^{4}+4)'=4z^{3}. Assim
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{N(z_0)}{(z_0+1)^{2}\cdot 4z_0^{3}}.
  1. Para z_0=1+i:
  • N(1+i)=(1+i)^{2}-2(1+i)=2i-2-2i=-2.
  • 1+i+1=2+i então (1+i+1)^{2}=(2+i)^{2}=3+4i.
  • 4(1+i)^{3}: calculamos (1+i)^{2}=2i, (1+i)^{3}=2i(1+i)=-2+2i; então 4(1+i)^{3}=-8+8i.
Denominador: (3+4i)(-8+8i)=-56-8i.
Logo
\operatorname{Res}(f,1+i)=\frac{-2}{-56-8i}=\frac{1}{28+4i}=\frac{7-i}{200}.
  1. Para z_0=1-i:
  • N(1-i)=(1-i)^{2}-2(1-i)=-2 (mesmo cálculo com conjugado).
  • 1-i+1=2-i, (2-i)^{2}=3-4i.
  • 4(1-i)^{3}=-8-8i (cálculo direto como conjugado do caso anterior).
Denominador: (3-4i)(-8-8i)=-56+8i.
Logo
\operatorname{Res}(f,1-i)=\frac{-2}{-56+8i}=\frac{1}{28-4i}=\frac{7+i}{200}.
  1. Para z_0=-1+i:
  • Calculamos ( -1+i)^{2}=-2i. Então
N(-1+i)=(-1+i)^{2}-2(-1+i)=-2i+2-2i=2-4i.
  • (-1+i)+1=i, então (z_0+1)^{2}=i^{2}=-1.
  • 4(-1+i)^{3}: com (-1+i)^{2}=-2i temos (-1+i)^{3}=(-2i)(-1+i)=2+2i, então 4(-1+i)^{3}=8+8i.
Denominador: (-1)\cdot(8+8i)=-8-8i.
Logo
\operatorname{Res}(f,-1+i)=\frac{2-4i}{-8-8i}=\frac{1+3i}{8}.
  1. Para z_0=-1-i:
  • (-1-i)^{2}=2i. Então
N(-1-i)=2i-2(-1-i)=2i+2+2i=2+4i.
  • (-1-i)+1=-i, (z_0+1)^{2}=(-i)^{2}=-1.
  • (-1-i)^{3}=2-2i e 4(-1-i)^{3}=8-8i.
Denominador: (-1)\cdot(8-8i)=-8+8i.
Logo
\operatorname{Res}(f,-1-i)=\frac{2+4i}{-8+8i}=\frac{1-3i}{8}.
Observação: os pares conjugados produzem resíduos conjugados conforme esperado.

Passo 7

Cálculo do resíduo no pólo duplo z=-1.
Definimos
h(z)=(z+1)^{2}f(z)=\frac{z^{2}-2z}{z^{4}+4}.
Então
\operatorname{Res}(f,-1)=h'(-1).
Calculamos h'(z) por quociente: se h(z)=\dfrac{N(z)}{D_1(z)} com D_1(z)=z^{4}+4, então
h'(z)=\frac{N'(z)D_1(z)-N(z)D_1'(z)}{D_1(z)^{2}},
onde N'(z)=2z-2 e D_1'(z)=4z^{3}.
Avaliação em z=-1:
N(-1)=3,\quad N'(-1)=-4,\quad D_1(-1)=5,\quad D_1'(-1)=-4.
Substituindo:
\text{numerador}=(-4)\cdot 5 - 3\cdot(-4)= -20 +12 = -8,
\text{denominador}=5^{2}=25.
Portanto
\operatorname{Res}(f,-1)=\frac{-8}{25}=-\frac{8}{25}.

Resposta

Pontos de não analiticidade: -1,\;1+i,\;-1+i,\;-1-i,\;1-i.\n
z=-1: pólo de ordem 2 (resíduo -\dfrac{8}{25}).\n
z=1+i: pólo simples (resíduo \dfrac{7-i}{200}).\n
z=1-i: pólo simples (resíduo \dfrac{7+i}{200}).\n
z=-1+i: pólo simples (resíduo \dfrac{1+3i}{8}).\n
z=-1-i: pólo simples (resíduo \dfrac{1-3i}{8}).

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