Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} d A em que D é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas x=0 e y=0 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1. Resp.: \frac{\pi}{16}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})^{3}\,dA
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x=0, y=0 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1. Para resolver usamos coordenadas polares, pois a integranda depende de x^{2}+y^{2} e a região é um setor circular.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^{2}+y^{2}=r^{2},
e o elemento de área transforma como dA = r\,dr\,d\theta. A região D vira
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 3

A integranda (x^{2}+y^{2})^{3} fica
(r^{2})^{3}=r^{6},
logo o integral passado a polares é
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}r^{6}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}r^{7}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}r^{7}\,dr=\frac{1}{8}.
Depois em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2}.
Multiplicando os resultados dá
\frac{1}{8}\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{16}

Exercícios relacionados