Utilize o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de ortogonalização usando o processo de Gram-Schmidt! Nosso objetivo aqui é transformar os vetores em um conjunto de vetores ortogonais. Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona, que é uma técnica em álgebra linear que permite construir uma base ortogonal a partir de uma base qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores iniciais de , e :
Passo 3
O primeiro vetor ortogonal, u1, é simplesmente igual a v1:
u1 = v1 = 110
Passo 4
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal u2. Para isso, usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
u2 = v2 - proju1 v2
A projeção de v2 sobre u1 é dada por:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Vamos calcular os produtos escalares:
v2 cdot u1 = (0)(1) + (1)(1) + (0)(0) = 1
u1 cdot u1 = (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 2
Então,
proju1 v2 = ( 12 ) 110 = 12120
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para encontrar u2:
u2 = 010 - 12120 = -12120
Passo 5
Agora, vamos encontrar o terceiro vetor ortogonal u3 usando novamente a fórmula de Gram-Schmidt:
u3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3
Primeiro, calculamos proju1 v3:
v3 cdot u1 = (0)(1) + (1)(1) + (2)(0) = 1
proju1 v3 = ( 12 ) 110 = 12120
Em seguida, calculamos proju2 v3:
v3 cdot u2 = (0)(-12) + (1)(12) + (2)(0) = 12
u2 cdot u2 = (-12)^2 + (12)^2 + 0^2 = 14 + 14 = 12