Quantos blocos de Jordan contem a matriz (na base canônica) de operador de derivada
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir quantos blocos de Jordan existem na matriz da operação de derivada
no espaço das polinômios de grau máximo
, usando a base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes, operadores lineares, valores próprios, e especialmente a forma de Jordan. Não se preocupe, vou explicar cada coisa conforme avançamos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica no espaço dos polinômios
. A base canônica é formada pelos monômios
. Isso significa que qualquer polinômio de grau até
pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.
Passo 3
Agora, a operação de derivada
age sobre esses monômios da seguinte forma:
para
. Por exemplo,
,
, e
.
Passo 4
Vamos construir a matriz dessa operação na base canônica. Cada coluna da matriz representa a imagem de um dos vetores da base após a aplicação de
. Observando a ação de
, vemos que:
- A derivada de
resulta em , que é um múltiplo de . - Portanto, a matriz terá elementos não nulos apenas na diagonal logo abaixo da diagonal principal.
Isso resulta em uma matriz do tipo deslocamento para baixo com os coeficientes
nas posições correspondentes.
Passo 5
Agora, para descobrir os blocos de Jordan dessa matriz, precisamos identificar os valores próprios e a estrutura de seus espaços próprios e generalizados. Observamos que:
- Um valor próprio
satisfaz a equação para algum polinômio . - Resolvendo, temos
, ou seja, .
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial
, encontramos que a solução geral é
. No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios, e
não é um polinômio a menos que
. Portanto, o único valor próprio é
.
Passo 7
Como o único valor próprio é
, a matriz de
é uma matriz nilpotente (ou seja, uma matriz cuja potência elevada eventualmente resulta na matriz zero). A forma de Jordan de uma matriz nilpotente consiste apenas em blocos de Jordan com a entrada
na diagonal.
Passo 8
Para determinar o número de blocos de Jordan, precisamos saber a multiplicidade de cada valor próprio e a dimensão de seus espaços próprios. Nesse caso:
- A multiplicidade algébrica de
é (já que o espaço tem dimensão ). - Para matrizes nilpotentes, o número de blocos de Jordan corresponde ao número de cadeias de vetores generalizados, que, neste caso, é
, pois a matriz representa um operador de derivada que reduz o grau do polinômio de forma sucessiva até chegar a zero.
Resposta
A matriz da operação de derivada
na base canônica possui um único bloco de Jordan.