Quantos blocos de Jordan contem a matriz (na base canônica) de operador de derivada widehatD: Pn(x) Pn(x), widehatD(x^k)=k x^k-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir quantos blocos de Jordan existem na matriz da operação de derivada widehatD no espaço das polinômios de grau máximo n, usando a base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes, operadores lineares, valores próprios, e especialmente a forma de Jordan. Não se preocupe, vou explicar cada coisa conforme avançamos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica no espaço dos polinômios Pn(x). A base canônica é formada pelos monômios 1, x, x^2, dots, x^n. Isso significa que qualquer polinômio de grau até n pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.

Passo 3

Agora, a operação de derivada widehatD age sobre esses monômios da seguinte forma:
widehatD(x^k) = kx^k-1
para k = 0, 1, 2, dots, n. Por exemplo, widehatD(x^2) = 2x, widehatD(x) = 1, e widehatD(1) = 0.

Passo 4

Vamos construir a matriz dessa operação na base canônica. Cada coluna da matriz representa a imagem de um dos vetores da base após a aplicação de widehatD. Observando a ação de widehatD, vemos que:
  • A derivada de x^k resulta em kx^k-1, que é um múltiplo de x^k-1.
  • Portanto, a matriz terá elementos não nulos apenas na diagonal logo abaixo da diagonal principal.
Isso resulta em uma matriz do tipo deslocamento para baixo com os coeficientes k nas posições correspondentes.

Passo 5

Agora, para descobrir os blocos de Jordan dessa matriz, precisamos identificar os valores próprios e a estrutura de seus espaços próprios e generalizados. Observamos que:
  • Um valor próprio lambda satisfaz a equação widehatD(p) = lambda p para algum polinômio p.
  • Resolvendo, temos widehatD(p) = lambda p, ou seja, p'(x) = lambda p(x).

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial p'(x) = lambda p(x), encontramos que a solução geral é p(x) = Ce^lambda x. No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios, e e^lambda x não é um polinômio a menos que lambda = 0. Portanto, o único valor próprio é lambda = 0.

Passo 7

Como o único valor próprio é 0, a matriz de widehatD é uma matriz nilpotente (ou seja, uma matriz cuja potência elevada eventualmente resulta na matriz zero). A forma de Jordan de uma matriz nilpotente consiste apenas em blocos de Jordan com a entrada 0 na diagonal.

Passo 8

Para determinar o número de blocos de Jordan, precisamos saber a multiplicidade de cada valor próprio e a dimensão de seus espaços próprios. Nesse caso:
  • A multiplicidade algébrica de 0 é n+1 (já que o espaço Pn(x) tem dimensão n+1).
  • Para matrizes nilpotentes, o número de blocos de Jordan corresponde ao número de cadeias de vetores generalizados, que, neste caso, é 1, pois a matriz representa um operador de derivada que reduz o grau do polinômio de forma sucessiva até chegar a zero.

Resposta

A matriz da operação de derivada widehatD na base canônica possui um único bloco de Jordan.

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